Conceptos de postulado, axioma, teorema, definicion y propiedad
Postulado: proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. Por ejemplo: la línea recta es la mínima distancia entre dos puntos.
Axioma: proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. Por ejemplo: la línea recta es la mínima distancia entre dos puntos.
Teorema: proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas. Por ejemplo, el Teorema de Pitágoras: "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos".
Definición: proposición que expone con claridad y exactitud los caracteres genéricos y diferenciales de algo material o inmaterial. Por ejemplo: un cuadrado es un cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
Propiedad: atributo o cualidad esencial de alguien o algo. Por ejemplo: una propiedad de un cuadrado es que tiene cuatro lados iguales. Pero existen otros cuadriláteros que también tienen esta propiedad, los rombos.
(Estas definiciones proceden del diccionario de la Real Academia Española).
Toda recta es ilimitada. El (único) punto de la misma situado en el infinito se llamapunto impropio.
Un punto de una recta la divide en dos semirectas.
Dos puntos de una recta determinan un segmento. Dichos puntos son sus extremos.
La distancia entre los extremos de un segmento se denomina valor absoluto del mismo.
El punto perteneciente a un segmento que equidista de sus extremos es su punto medio.
Segmento orientado es un segmento en el que se ha definido un sentido de recorrido.
El valor algebraico de un segmento es su valor absoluto acompañado de un signo, positivo o negativo, en función de si se recorre en el mismo o distinto sentido definido como positivo.
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus extremos
Figura 2.1. Recta, semirrecta y segmento
Primer postulado de Euclides: "Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta".
Segundo postulado de Euclides: "Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta".
Considerando los postulados anteriores contesta a las siguientes preguntas:
¿Cuántas rectas pasan por un punto cualquiera?
Infinitas
¿Cuántas rectas (no coincidentes) pasan por dos puntos no coincidentes?
Una
¿Cuántos puntos (no coincidentes) son necesarios para definir una y solo una recta?
Dos
¿Cuántos puntos pueden tener en común como máximo dos rectas no coincidentes?
Uno
Posiciones relativas de punto y recta:
Un punto es exterior a una recta si no está situado sobre ella.
Un punto pertenece a una recta, o bien la recta pasa por el punto, si éste está situado sobre aquélla.
Una Circunferencia está definida por los infinitos puntos de un plano que distan de un punto fijo (centro) una magnitud constante (radio).
Círculo es el área del plano en que se sitúan los puntos que distan del centro de la circunferencia una magnitud igual o inferior a su radio.
Cuerda es el segmento determinado por cualquier pareja de puntos de una circunferencia.
Diámetro es toda cuerda de una circunferencia que pasa por su centro.
Arco es la parte de la circunferencia delimitada por cualquier pareja de puntos de ésta.
Figura 2.3. La circunferencia
Tercer postulado de Euclides: “Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualesquiera”.
La mediatriz de un segmento se obtiene dibujando con centro en sus extremos sendas circunferencias del mismo radio (que debe ser mayor que la mitad de la longitud del segmento). Los puntos donde se cortan estas dos circunferencias equidistan de los extremos, y determinan la mediatriz del segmento, al que es perpendicular y lo corta en su punto medio.
Una recta contenida en un plano lo divide en dos semiplanos. Esta recta se denomina frontera, contorno, borde u origen del semiplano.
Un punto de un semiplano, no perteneciente al contorno, se llama interior. Un punto que no pertenezca al contorno ni sea interior se denomina exterior.
Coge dos lápices, uno con cada mano, orientándolos según cualquier dirección pero sin que se toquen. ¿Crees que existe un plano que pueda contener simultáneamente a los dos lápices?
Repite la operación, poniendo ahora los lápices en contacto. ¿Existe un plano que contenga a ambos lápices en esta nueva disposición?
Los lápices representan a rectas. En el primer caso las rectas se cruzan, no tienen ningún punto en común y no definen ningún plano. En el segundo caso las rectas se cortan en un punto y definen un único plano.
Considerando lo anterior contesta a las siguientes preguntas:
¿Cuántos planos contienen a una recta dada?
Infinitos
¿Cuántos planos contienen a dos puntos dados (no coincidentes)?
Infinitos
¿Dos rectas que se cortan definen un plano?
Sí
¿Dos rectas que se cruzan definen un plano?
No
¿Existe algún plano que contenga a una recta y a un punto exterior a la misma? ¿Cuántos?
Sí, uno.
¿Existe algún plano que contenga a tres puntos no alineados? ¿Cuántos?
Sí, uno.
En base a las respuestas del ejercicio anterior deducimos que un plano queda determinado por:
Tres puntos no alineados
Dos rectas secantes
Una recta y un punto exterior a la misma
Figura 2.5. Denominación de un plano por puntos y/o rectas
Ángulo es la región de un plano delimitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. A estas dos semirrectas se les llama lados, a su punto común, vértice del ángulo.
Medir un ángulo es compararlo con otro ángulo tomado como unidad. Se utilizan los grados sexagesimales, los grados centesimales y los radianes.
El valor de un ángulo puede ser de signo positivo o negativo en función de si se recorre a favor o en contra de un sentido tomado como positivo.
Dos ángulos son iguales si se puede colocar uno sobre el otro de forma que coincidan.
Clasificación de los ángulos en función de su medida:
Ángulo recto es el que vale exactamente 90º, 100g o π/2 radianes.
Ángulo agudo es el que mide menos que un ángulo recto.
Ángulo obtuso es el que mide más que un ángulo recto.
Ángulo llano es el que tiene sus lados en prolongación, y mide 180º, 200g o π radianes.
Figura 2.6. Clasificación de los ángulos en función de su medida.
Cuarto postulado de Euclides: "Todos los ángulos rectos son iguales entre sí".
Dos ángulos son adyacentes si comparten vértice y un lado. Dos ángulos adyacentes son complementarios si su suma vale 90º. Dos ángulos adyacentes son suplementarios si su suma vale 180º.
Figura 2.7. Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios.
Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son prolongación de los del otro.
La bisectriz de un ángulo es la recta que contiene a su vértice y divide al ángulo en otros dos ángulos iguales. La bisectriz de un ángulo es única, y todos sus puntos equidistan de los dos lados.
Para dibujar la bisectriz de un ángulo, con centro en su vértice se traza un arco de circunferencia de un radio cualquiera. Con centro en los puntos donde el arco anterior corta a cada lado del ángulo se dibujan sendas circunferencias del mismo radio. Los puntos donde estas dos circunferencias se cortan pertenecen a la bisectriz, así como el vértice del ángulo.
Dos rectas son perpendiculares u ortogonales cuando los ángulos adyacentes que forman son iguales. En caso contrario son rectas oblicuas.
Por un punto sólo puede trazarse una perpendicular a una recta cualquiera.
Paralelismo
Dos rectas son paralelas si desplazando una de ellas sin girarla se puede colocar sobre la otra de forma que coincidan.
Dos rectas coplanarias cualesquiera son secantes. Por otro lado dos rectas paralelas definen un plano. En consecuencia dos rectas paralelas son secantes, luego tienen un punto en común. Se denomina punto impropio o punto del infinito el de intersección de dos rectas paralelas.
Una recta tiene un solo punto impropio, al que se llega recorriendo la recta hasta el infinito en un sentido o en el otro.
Todas las rectas paralelas entre sí tienen el mismo punto impropio.
Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
Figura 2.9. Perpendicularidad y paralelismo.
Quinto postulado de Euclides: "Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a ella".
Línea quebrada o poligonal abierta: dados n puntos de un plano, A1, A2 … An (n≥3), en un cierto orden, se denomina línea quebrada o poligonal abierta a la figura formada uniendo con segmentos los pares de puntos consecutivos.
Línea quebrada o poligonal cerrada: resulta de unir el último punto An con el primero A1.
Vértices: se llaman así a los n puntos A1, A2 … An. El primero y el último son los extremos.
Lados: segmentos que unen puntos consecutivos. Una poligonal de n vértices tiene n-1 lados si es abierta y n lados si es cerrada. Dos lados con un vértice común se llaman consecutivos. Los ángulos formados por cada par de lados consecutivos se llaman ángulos de la poligonal.
Diagonales: segmentos que unen puntos no consecutivos.
Polígono: conjunto de una poligonal cerrada y el área que encierra. Sus ángulos internos son los que forman dos lados consecutivos, y sus ángulos externos, los que forma cada lado con la prolongación del anterior, por fuera del polígono.
Figura 2.10. Líneas poligonales y polígonos.
Clasificación de polinómios:
En función del número de lados: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, undecágono, dodecágono, pentadecágono. Los no incluidos en esta clasificación se denominan por su número de lados.
En función de la medida de sus ángulos y de sus lados:
Polígono equiángulo es el que tiene todos sus ángulos iguales.
Polígono equilátero es el que tiene todos sus lados iguales.
Polígono regular es todo polígono equiángulo equilátero.
Polígono semirregular es todo polígono equiángulo son sus lados alternativamente iguales, y todo polígono equilátero con sus ángulos alternativamente iguales.
Polígono irregular es cualquier polígono no incluido en las categorías anteriores.
Figura 2.11. Clasificación de los polígonos en función de sus lados y ángulos
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180º.
Clasificación
Según sus ángulos:
Obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.
Acutángulo si todos sus ángulos son agudos.
Rectángulo si tiene un ángulo recto. En este caso se llama hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto, y catetos a los lados que forman el ángulo recto.
Figura 2.12. Clasificación de los triángulos según sus ángulos
Según sus lados:
Equilátero si todos sus lados son iguales
Isósceles si tienen dos lados iguales y uno distinto. En este caso se llaman base y vértice al lado desigual y a su vértice opuesto.
Escaleno si todos sus lados son distintos.
Figura 2.13. Clasificación de los triángulos según sus lados.
