CÁLCULO DE FUERZAS MAGNÉTICAS 3

SOLUCIÓN:

Inicialmente la carga está en reposo, luego sólo actúa la fuerza eléctrica y por tanto:

\[\vec{a}=\vec{F}/m=\frac{q}{m}\vec{E}\]

En el momento en que empieza a moverse, el campo magnético ejerce una fuerza perpendicular a dicha dirección. Para que no produzca ninguna desviación tiene que darse una de estas dos condiciones:

• Que la fuerza eléctrica contrarreste la fuerza magnética, o

• Que el campo magnético sea paralelo a la dirección de movimiento, en cuyo caso la fuerza magnética será nula.

El primero de los casos no puede darse puesto que la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, y ya hemos visto que la fuerza eléctrica, al menos en el instante inicial, es paralela a ésta. Queda como única opción que el campo magnético sea paralelo a la velocidad, y por lo tanto al campo eléctrico.

SOLUCIÓN:

Como la velocidad y campos son paralelos, entonces:

• La fuerza eléctrica y por tanto la aceleración son también paralelos a la velocidad inicial. Por tanto, el campo eléctrico no desvía la carga de su trayectoria recta.

• Inicialmente no hay fuerza magnética, puesto que la velocidad es paralela al campo magnético. Dado que la fuerza eléctrica no desvía a la carga de su trayectoria, la velocidad no cambia de dirección y por tanto no aparecerá en ningún momento una componente perpendicular.

1. \[\vec{F}=q_e\vec{E}=-1.6\cdot 10^{-19}\cdot 5\cdot 10^{-6}\hat{\imath}=-8\cdot 10^{-25}\hat{\imath}\mbox{ N}\] \[\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m_e}=\frac{-8\cdot 10^{-25}\hat{\imath}}{9.1\cdot 10^{-31}}=-879121\hat{\imath}\mbox{ m/s}^2\approx -879000\hat{\imath}\mbox{ m/s}^2\]

2. Como conocemos la aceleración y la velocidad inicial:

   \[\vec{v}_f=\vec{v}_i+\vec{a}t=20\hat{\imath}\mbox{ m/s}-879000\mbox{ m/s}^2\cdot 1\mbox{ s}\hat{\imath}=-879101\hat{\imath}\mbox{ m/s}\]

SOLUCIÓN:

En el instante inicial está claro que no hay fuerza magnética, puesto que el campo magnético es paralelo a la velocidad. Pero sobre la carga actúa una fuerza eléctrica en la dirección del campo eléctrico. Como éste es perpendicular a la dirección inicial de la carga, ésta se desviará de esta trayectoria tal y como se indica en la figura de la izquierda,

\[\vec{F}_e=q\vec{E}=qE_j\hat{\jmath}\] \[\vec{a}=\frac{qE}{m}\hat{\jmath}\] \[\vec{v}=\vec{v}_i+\vec{a}t=v_i\hat{\imath}+\frac{qE}{m}\hat{\jmath}\]

por lo que instantes después aparecerá una componente de la velocidad en la dirección del eje OY y por tanto una fuerza magnética (figura derecha).

SOLUCIÓN:

La fuerza total es la suma vectorial de la fuerza ejercida por los campos magnético y eléctrico. Llamemos \(\vec{F}_m\) a la fuerza ejercida por el campo magnético y \(\vec{F}_e\) a la ejercida por el campo eléctrico. La fuerza magnética será:

\[\vec{B}=B_x\hat{\imath}=25\cdot 10^{-3}\hat{\imath}\mbox{ T}\] \[\vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_z\hat{k}=(3\hat{\imath}+2\hat{k})\mbox{ m/s}\] \[\vec{F}_m=q\vec{v}\times\vec{B}=qv_zB_x\hat{k}\times\hat{\imath}=qv_zB_x\hat{\jmath}\] \[\vec{F}_m=-5\cdot 10^{-6}\mbox{ C}\cdot 2\mbox{ m/s}\cdot 25\cdot 10^{-3}\mbox{ T}\hat{\jmath}=-250\hat{\jmath}\mbox{ nN}\]

Y la fuerza eléctrica:

\[\vec{F}_e=q\vec{E}=-5\cdot 10^{-6}\mbox{ C}\cdot 2000\cdot 10^{-6}\hat{\imath}\mbox{ N/C}=-10\hat{\imath}\mbox{ nN}\]

La fuerza total será:

\[\vec{F}=(-10\hat{\imath}-250\hat{\jmath})\mbox{ nN}\]

En la siguiente figura se muestra una representación:

SOLUCIÓN:

1. Sobre la carga actúan dos fuerzas. La fuerza eléctrica es paralela al campo eléctrico, mientras que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético.

   \[\vec{E}=2000\hat{\imath}\mu\mbox{N/C}=E\hat{\imath}\] \[\vec{B}=0.3\hat{\imath}\mbox{ T}=B_x\hat{\imath}\]

   Como resultado, la carga se moverá en el espacio con una cierta velocidad que todavía no conocemos, pero que podemos escribir como:

   \[\vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}+v_z\hat{k}\]

   Como ambos campos son paralelos, esto significa que las fuerzas son perpendiculares entre sí. Por tanto, es de esperar que la carga se acelere en la dirección X por la fuerza eléctrica y en el plano YZ debido a la fuerza magnética.

   La fuerza eléctrica será:

   \[\vec{F}_E=q\vec{E}=qE\hat{\imath}=5\cdot 10^{-6}\mbox{ C}\cdot 2000\cdot 10^{-6}\hat{\imath}\mbox{ N/C}=1.36\cdot 10^{-5}\hat{\imath}\mbox{ N}\]

   Para calcular la fuerza magnética, recordemos que

   • Su módulo sólo depende de la parte de la velocidad perpendicular al campo. En nuestro caso \(\vec{v}_\perp=v_y\hat{\jmath}+v_z\hat{k}\). En efecto, como se muestra en la figura, si \(\theta\) es el ángulo que forma el campo y la velocidad, entonces \(|\vec{F}_B|=qvB\sin\theta\) y tal y como se muestra en la figura \(v\sin\theta=v_\perp=\sqrt{v_y^2+v_z^2}\).

     

   • La fuerza magnética es una fuerza centrípeta, perpendicular a la trayectoria, por lo que no modifica el módulo de la velocidad, sino sólo su dirección: \(\vec{v}_\perp\) tiene siempre el mismo módulo y por tanto es igual al módulo en el instante inicial, es decir \(v_\perp=v_i\) y por tanto:

     \[|\vec{F}_B|=q|\vec{v}\times\vec{B}|=qv_iB_x=5\cdot 10^{-6}\mbox{ C}\cdot 3\mbox{ m/s}\cdot 0.3\mbox{ T}=4.5\cdot 10^{-6}\mbox{ N}\]

2. Podemos calcular la aceleración como

   \[\vec{a}=a_x/m\hat{\imath}+a_y/m\hat{\jmath}+a_z/m\hat{k}=F_x/m\hat{\imath}+F_y/m\hat{\jmath}+F_z/m\hat{k}\] \[F_x=F_E=qE\] \[F_y\hat{\jmath}+F_z\hat{k}=\vec{F}_B\]

   Por lo tanto:

   \[a_x=\frac{F_x}{m}=\frac{qE}{m}=\frac{5\cdot 10^{-6}\mbox{ C}\cdot 2\cdot 10^{-3}\mbox{ N/C}}{10^{-10}\mbox{ kg}}=100\mbox{ m/s}^2\]

   En la dirección X sólo actúa la fuerza eléctrica lleva la dirección del eje X, y produce una movimiento uniformemente acelerado:

   \[v_x=a_xt=\frac{qE}{m}t\]

   Por otro lado, la fuerza magnética está en el plano YZ (por ser perpendicular al eje OX) y es perpendicular a la velocidad, se trata de una fuerza centrípeta:

   \[|\vec{F_B}|=\frac{mv^2_\perp}{r}\]

   siendo \(v_\perp=v_i\). Como \(|\vec{F_B}|=qv_iB\). Por lo tanto, la proyección de la trayectoria en el plano YZ es un movimiento circular con radio:

   \[[r=\frac{mv_i}{qB}=\frac{10^{-10}\mbox{ kg }3\mbox{ m/s}}{5\cdot 10^{-6}\mbox{ C }0.3\mbox{ T}}=0.0002\mbox{ m}\]

   Teniendo en cuenta la componente x de la velocidad, tendremos finalmente que la trayectoria será helicoidal: la carga avanza con un movimiento uniformemente acelerado en la dirección X girando en torno a dicho eje: