EJERCICIOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

SOLUCIÓN:

Las espiras son planas y el campo uniforme, luego \(\Phi=\int_S\vec{B}\cdot\mbox{d}\vec{S}=\vec{B}\cdot{S}\). Como las espiras son perpendiculares al campo, el vector superficie es paralelo a éste, y por tanto \(\vec{B}\cdot\vec{S}=BS\). El área total será el área de una espira multiplicado por el número total de espiras que tenemos:

\[S=Nl^2\] \[\Phi=BS=BNl^2=0.3\mbox{ T}\cdot 200\cdot 0.03^2\mbox{ m}^2=0.054\mbox{ Wb}\]

SOLUCIÓN:

1. 
   
   

2. Como la espira es plana y el campo uniforme:

   \[\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S}=BS\cos (70^\circ)=0.0547\mbox{ Wb}\]

SOLUCIÓN:

1. Para calcular el flujo, primero necesito una dirección de la superficie. Escogemos la misma que la del campo magnético, como se muestra en la figura A. Entonces, el flujo será:

   \[\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S}=BS\]

   donde \(S=l_1l_2=1.2(1.2-0.2t)\) m\(^2\), por lo tanto:

   \[\Phi=0.5\mbox{ T}\times 1.2(1.2-0.2t)\mbox{ m}^2=(0.72-0.12t)\mbox{ Wb}\]
   

2. Sigamos los pasos indicados en teoría. Definido el sentido del vector superficie, usamos la regla de la mano derecha para determinar el sentido positivo de la fuerza electromotriz, tal y como se muestra en la figura B.

   A continuación, utilizamos el flujo magnético calculado en el apartado anterior para calcular la fuerza electromotriz:

   \[\varepsilon=-\frac{\mbox{d}\Phi}{\mbox{d}t}=-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(0.72-0.12t)\mbox{ Wb}=+0.12V\]

3. Dado que se ha obtenido un valor positivo, esto quiere decir que el sentido escogido en la figura B es el sentido correcto de la fuerza electromotriz, y por tanto de la corriente.

SOLUCIÓN:

Intuitivamente, podríamos decir que dado que la superficie en este caso aumenta en vez de disminuir, también lo hace el flujo magnético y por tanto la ley de Faraday me dará el mismo valor pero cambiado de signo. Esto indica que la fuerza electromotriz y por tanto la corriente siguen la dirección opuesta. En detalle sería:

Lo primero es escoger una dirección de la superficie. Escogemos la misma que la del campo magnético, como se muestra en la figura. Entonces, el flujo será el mismo que en el ejercicio anterior:

\[\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S}=BS\]

donde \(S=l_1l_2=0.24t\) m\(^2\), por lo tanto:

\[\Phi=0.5\mbox{ T}\times 0.24t\mbox{ m}^2=0.12t\mbox{ Wb}\]

Definido el sentido del vector superficie, usamos la regla de la mano derecha para determinar el sentido positivo de la fuerza electromotriz, tal y como se muestra en la figura a la derecha en verde.

A continuación, calculamos la fuerza electromotriz con la ley de Faraday:

\[\varepsilon=-\frac{\mbox{d}\Phi}{\mbox{d}t}=-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(0.12t)\mbox{ Wb}=-0.12V\]

Efectivamente \(\varepsilon < 0\), por lo que la fuerza electromotriz y la corriente siguen el sentido indicado en la figura en amarillo.

SOLUCIÓN:

1. El primer paso es elegir el vector superficie. Dado que la espira está girando, la orientación cambia con el tiempo. El número de vueltas que realiza por segundo, es decir, la frecuencia \(f=60\) Hz, multiplicado por el ángulo que corresponde a una vuelta, es decir \(2\pi\) rad me dará el ángulo que gira por segundo \(\omega\). Esto multiplicado por el tiempo que está girando me da el ángulo \(\theta\) con el eje OX:

   \[\theta=2\pi ft\]

   El área sustentada cada espira es \(S=l^2=4\cdot 10^{-4}\) m\(^2\). Como hay un total de 300 espiras. \(S=0.12\) m\(^2\). El vector superficie será:

   \[\vec{S}=0.12(\cos (2\pi ft)\hat{\imath}+\sin (2\pi ft)\hat{\jmath})\]

   El flujo será:

   \[\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S}=BS\cos\theta=BS\cos (2\pi ft)\]

   Y con la ley de Faraday:

   \[\varepsilon=-\frac{\mbox{d}\Phi}{\mbox{d}t}=-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(BS\cos (2\pi ft))=BS2\pi f\sin (2\pi ft)\]

   Y sustituyendo los datos

   \[\varepsilon=0.4\mbox{ T}\cdot 0.12\mbox{ m}^22\pi 60\mbox{ Hz}\sin (120\pi t)=18.09\mbox{ V}\sin (120\pi t)\]

2. Como vemos, la fuerza electromotriz varía sinusoidalmente. Alcanzará el valor máximo en los instantes en el que \(\sin (120\pi t)\) sea máximo. Dado que la función seno tiene como valor máximo 1, entonces, la fuerza electromotriz máxima será 18.09 V.