Hay dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa. La unidad de carga en el sistema internacional es el Culombio (C): 1 culombio = carga de \(6.25 \times 10^{18}\) electrones.

También existe un principio de conservación de la carga eléctrica: la carga eléctrica de un sistema aislado permanece constante, es decir, la suma algebraica de las cargas positivas y negativas no varía.

Coulomb (1736-1806) estudió las fuerzas entre cargas eléctricas y formuló una ley que la describe.

Ley de Coulomb: La fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales \(q_1\) y \(q_2\), es directamente proporcional al valor de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa:

\[\vec{F} = \pm \, K \, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}} \, \hat{u_{r}}\]

• \(\vec{F}\) es un vector de modo que tiene: módulo, dirección y sentido, además de unidades [Newton].

• K es una constante cuyo valor depende del medio en el que se encuentran las cargas: \(K=\frac{1}{4} \, \pi \, \varepsilon\), donde \(\varepsilon\) es la constante dieléctrica o permitividad del medio (en el vacío, \(K=8.99 \times 10^9 \, \, \rm{N} \, \rm {m}^2 / \rm{C}^2\)).

• \(\hat{u_r}\) es el vector unitario en la dirección de ambas cargas puntuales.

La fuerza es central, o sea, que tiene la dirección de la recta que une las cargas, y puede ser:

• repulsiva si las cargas tienen el mismo signo.

• atractiva si las cargas tienen signo opuesto.

Por otra parte, la ley de Newton para la gravitación y la de Coulomb para la fuerza eléctrica tienen analogías y diferencias claras:

EJEMPLO 3: La carga \(q_1=+50 \, \text{nC}\) está en el origen, la carga \(q_2=-8 \, \text{nC}\) está situada en el eje X a 4 m del origen y la carga \(q_0=+10 \, \text{nC}\) se encuentra en el punto \(\left(4,4\right)\,\text{m}\) tal y como aparece en la figura. Determina el vector de la fuerza resultante sobre la carga \(q_0\).

Solución

Solución:

\[F_{1,0}=K\frac{\left|q_{1}\,q_{0}\right|}{r_{1,0}^{2}}=\frac{\left(8.99\cdot10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}\right)\left(50\cdot10^{-9}\,\text{C}\right)\left(10\cdot10^{-9}\,\text{C}\right)}{\left(4\sqrt{2}\,\text{m}\right)^{2}}=1.4\cdot10^{-7}\,\text{N}\] \[F_{1,0x}=F_{2,0y}=F_{1,0}\,\cos\,45^{\circ}=\frac{1.4\cdot10^{-7}\,\text{N}}{\sqrt{2}}=9.89\cdot10^{-8}\,\text{N}\] \[\vec{F}_{2,0}=K\frac{q_{2}\,q_{0}}{r_{2,0}^{2}}\hat{r}_{2,0}=\frac{\left(8.99\cdot10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}\right)\left(-8\cdot10^{-9}\,\text{C}\right)\left(10\cdot10^{-9}\,\text{C}\right)}{\left(4\,\text{m}\right)^{2}}\hat{\jmath}=\left(-4.49\cdot10^{-8}\,\text{N}\right)\hat{\jmath}\] \[F_{x}^{neta}=F_{1,0x}+F_{2,0x}=\left(9.89\cdot10^{-8}\,\text{N}\right)+0=9.89\cdot10^{-8}\,\text{N}\] \[F_{y}^{neta}=F_{1,0y}+F_{2,0y}=\left(9.89\cdot10^{-8}\,\text{N}\right)+\left(-4.49\cdot10^{-8}\,\text{N}\right)=5.4\cdot10^{-8}\,\text{N}\] \[F=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}=\sqrt{\left(9.89\cdot10^{-8}\,\text{N}\right)^{2}+\left(5.4\cdot10^{-8}\,\text{N}\right)^{2}}=1.13\cdot10^{-7}\,\text{N}\] \[\tan\theta=\frac{F_{y}}{F_{x}}=\frac{5.4\cdot10^{-8}\,\text{N}}{9.89\cdot10^{-8}\,\text{N}}=0.546\longrightarrow\theta=28.63^{\circ}\]

¿Cuál es el mecanismo según el cuál una carga eléctrica puede ejercer una fuerza sobre otra a través del espacio vacío que existe entre ellas sin que haya contacto? La fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre otra es un ejemplo de acción a distancia (al igual que la fuerza gravitatoria).

Para explicar el fenómeno de acción a distancia se introduce el concepto de campo eléctrico. Toda carga eléctrica \(q\) perturba el espacio donde está situada, creando un campo eléctrico \(\vec{E}\) a su alrededor, y es este campo el que ejerce una fuerza sobre cualquier otra carga \(q'\) situada en cualquier punto del espacio a una distancia \(r\). Es decir, la carga \(q'\) experimenta una fuerza debida al campo \(\vec{E}\) (creado por la carga \(q\)) existente en su posición. \(\vec{E}\) es un vector de modo que tiene: módulo, dirección y sentido, además de unidades [Newton/Culombio].

Supongamos una carga eléctrica \(q\) en un punto del espacio. Si colocamos una carga \(q'\) en otro punto, ésta experimentará una fuerza eléctrica \(\vec{F}\) dada por la Ley de Coulomb.

Se define en cada punto del espacio un vector \(\vec{E}\), denominado intesidad de campo eléctrico o, simplemente, campo eléctrico, mediante la relación:

\[\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q'}\]

Por tanto, el campo eléctrico debido a una carga puntual \(q\) en un punto P situado a una distancia \(r\) de la carga es:

Principio de Superposición de Campos Eléctricos

En el espacio puede haber sistemas discretos de cargas, formados por cargas puntuales aisladas unas de otras, o sistemas continuos de cargas, donde toda la carga se encuentra distribuida en un volumen. El principio de superposición establece que la intensidad del campo eléctrico en un punto debido a un sistema discreto de cargas es igual a la suma de las intensidades de los campos debidos a cada una de ellas. Si el sistema es continuo, la suma ha de sustituirse por la integral extendida al volumen del sistema de los campos debidos a cada elemento de volumen que contiene la carga elemental dq.

EJEMPLO 1: Calcula la intensidad del campo eléctrico creado en el vacío por una carga puntual de +24 nC a una distancia de 20 cm. Halle el módulo de la fuerza que actuaría sobre una carga puntual de +1 nC situada en el mismo punto.

Solución

Solución:

La intensidad del campo eléctrico creado en el punto P por la carga de +24 nC será

\[E=K\frac{q}{r^{2}}=9\cdot10^{9}\,\text{N}\cdot \text{m}^{2}/\text{C}^{2}\,\frac{24\cdot10^{-9}\,\text{C}}{\left(0.2\,\text{m}\right)^{2}}=5400\,\text{N/C}\]

Por otra parte, la fuerza que actuaría sobre la carga \(q'\) situada en el punto P sería

\[F=q'\cdot E=1\cdot10^{-9}\,\text{C}\cdot5400\,\text{N/C}=5.4\cdot10^{-6}\,\text{N}\]

Como \(q'\) es positiva, \(\vec{F}\) tiene el mismo sentido que \(\vec{E}\).

EJEMPLO 2: Dos cargas eléctricas puntuales \(q_1=+4 \, \mu\text{C}\) y \(q_2=-4 \, \mu\text{C}\) se encuentran situadas en los puntos \(\left(0,0\right)\text{m}\) y \(\left(3,0\right)\text{m}\), respectivamente. Determine el campo eléctrico en el punto P\(\left(3,3\right)\text{m}\).

Solución

Solución:

\[E_{1}=K\frac{q_{1}}{r_{1^{2}}}=9\cdot10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}/\text{C}^{2}\,\frac{4\cdot10^{-6}\,\text{C}}{\left(3\sqrt{2}\,\text{m}\right)^{2}}=2000\,\text{N/C}\] \[E_{1x}=E_{1}\,\cos45^{\circ}=1414.21\,\text{N/C}\quad\quad E_{1y}=E_{1}\,\sin45^{\circ}=1414.21\,\text{N/C}\] \[E_{2}=K\frac{q_{2}}{r_{2^{2}}}=9\cdot10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}/\text{C}^{2}\,\frac{-4\cdot10^{-6}\,\text{C}}{\left(3\,\text{m}\right)^{2}}=-4000\,\text{N/C}\] \[E_{2x}=0\quad\quad E_{2y}=-4000\,\text{N/C}\] \[E_{x}=E_{1x}+E_{2x}=1414.21\,\text{N/C}\quad\quad E_{y}=E_{1y}+E_{2y}=-2585.79\,\text{N}\]

El campo eléctrico es \(\vec{E}=\left(1414.21\,\hat{\imath}-2585.79\,\hat{\jmath}\right)\,\text{N/C}\), y su módulo \(E=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}=2947.25\,\text{N/C}\)

El campo eléctrico es “conservativo” porque (se comprueba experimentalmente) el trabajo \(W_{\text{A}\rightarrow \text{B}}\) necesario para trasladar una carga eléctrica con velocidad constante (es decir, sin variar su energía cinética) entre dos puntos A y B de un campo eléctrico, es el mismo independientemente del camino por el que se lleve la carga desde A hasta B.

El trabajo \(W_{\text{A}\rightarrow \text{B}}\) realizado por las fuerzas de campo se emplea en variar la energía potencial del sistema:

La energía potencial absoluta de una carga situada en un campo electrostático no puede calcularse sin tomar un origen de referencia. Si, por convenio, se toma el infinito como origen de referencia, y si se supone que A está en el infinito (\(E_{p}\left(\text{A}\right)=0\)), el trabajo para traer la carga desde el infinito hasta B puede interpretarse como:

La energía potencial \(E_p\) de una carga eléctrica en un punto del campo electrostático es igual al trabajo necesario para traer la carga desde el infinito hasta ese punto.

Potencial Electrostático

La energía potencial en un punto depende de la carga \(q'\) allí situada, por lo que se define una magnitud propia del campo en cada punto, el potencial electrostático V, que no es función de la carga colocada en él.

El potencial electrostático de un punto B del campo eléctrico es la energía potencial de la unidad de carga eléctrica positiva situada en ese punto B:

El potencial electrostático es una magnitud escalar, quedando definida por un número y una unidad. La unidad de potencial electrostático en el Sistema Internacional es el Voltio [V]. Un punto del campo tiene un potencial de 1 V si una carga de +1 C situada en él tiene una energía potencial de 1 J.

Si el campo eléctrico está creado por un conjunto de cargas puntuales \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\) ... situadas a diferentes distancias \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\) de un punto B del campo, el potencial electrostático total creado en dicho punto es la suma algebraica de cada potencial (con su signo).

Si \(V_\text{A}\) es el potencial electrostático del punto A, y \(V_\text{B}\) es el del punto B, el trabajo para mover la carga q' desde A hasta B en contra de las fuerzas del campo es:

La diferencia de potencial (ddp) entre dos puntos A y B es el trabajo realizado para transportar la unidad de carga eléctrica positiva desde A hasta B.

Las líneas de fuerza del campo eléctrico son líneas imaginarias tangentes en cada punto al vector intensidad de campo eléctrico. Para representarlas gráficamente se usa como modelo la trayectoria que seguiría una unidad de carga eléctrica positiva ideal abandonada en reposo en un punto del campo eléctrico. Algunos ejemplos de líneas de fuerza creados por cargas puntuales y por un dipolo:

Las superficies equipotenciales son aquellos puntos del campo que tienen el mismo potencial electrostático. Así, son perpendiculares a las líneas de fuerza del campo. Ver ejemplo:

El flujo de campo eléctrico, \(\Phi\), es la magnitud matemática relacionada con el número de líneas de campo que atraviesa una superficie.

En el caso de una superficie plana como la de la figura, con un campo \(\vec{E}\) que forma un ángulo \(\alpha\) con el vector Superficie \(\vec{S}\) (perpendicular al plano y de módulo igual a su área), el flujo de campo se calcula matemáticamente como el siguiente producto escalar:

En el caso más general en que tengamos una superficie cualquiera, no plana, el flujo elemental \(\text{d}\Phi\) a través de un elemento de superficie \(\text{d}S\) es: \(\text{d}\Phi=\vec{E} \cdot \text{d}\vec{S} \) y el flujo total a través de toda la superficie:

El Teorema de Gauss dice que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada S es igual a \(4 \, \pi \, K\) veces la carga neta encerrada en la superficie:

El Teorema de Gauss puede utilizarse para determinar los campos eléctricos debidos a distribuciones de cargas de geometría sencilla. Por ejemplo, el campo eléctrico debido a una esfera hueca de radio \(R\) cargada superficialmente con carga \(Q\), sería:

• Cero en el interior, pues no hay carga encerrada.

• \(E=K \, \frac{Q}{R^2}\), justo en la superficie de la esfera.

• \(E=K \, \frac{Q}{r^2}\), a una distancia \(r>R\) fuera de la esfera.