EJERCICIOS DE PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Y PRINCIPIO DE PASCAL

El principio de Arquímedes

1. Cuando se infla un globo, se debe hacer una presión extra para compensar la fuerza elástica de la goma, que tiende a desinflarlo. Por ello, la presión dentro ha de ser mayor que fuera. Como resultado, la densidad dentro del globo es mayor.

   Pesamos un globo de 2 dm de radio (considérelo esférico) y la balanza nos indica 13.37 g. Si el globo desinflado tiene una masa de 10 g, calcule:

   1. El aumento de densidad del aire en el interior del globo.

   2. La masa de aire en el interior.

   Solución

   SOLUCIÓN:
   

   1. Hay que tener en cuenta que la masa real \(m\) no es la marcada por la balanza, ya que sobre el globo actúan dos fuerzas, el peso y el empuje debido al aire circundante, tal y como se muestra en el siguiente esquema.

      

      Por lo tanto, si llamamos \(m_{ap}\) a la masa marcada por la balanza, la masa real del globo podemos obtenerla del balance de fuerzas: \[P-E=m_{ap}g\] siendo \(P\) el peso real del globo y \(E\) el empuje.
      \(P=mg\), siendo \(m\) la masa real del globo.
      \(E=m'g=Vdg\), siendo \(m'\) la masa del aire circundante desalojado, \(d\) su densidad y \(V\) el volumen desalojado, es decir, el volumen del globo,
      \(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (0.2\mbox{ m})^3=0.0335\) m\(^3\).
      Por lo tanto: \[mg-Vdg=m_{ap}g\] De aquí se obtiene: \[m=m_{ap}+Vd\] Por lo tanto: \[m=13.37\cdot 10^{-3}\mbox{ kg}+0.0335\mbox{ m}^3\cdot 1\mbox{ kg/m}^3\] \[m_{real}= 0.0469\mbox{kg}\] De esta masa, 10 g corresponden al globo y el resto es el aire en el interior: \[m_{aire}=0.0369\mbox{ kg}=36.9\mbox{ g}\]

   2. La densidad será: \[d=\frac{m_{aire}}{V}=\frac{0.0369\mbox{ g}}{0.0335\mbox{ m}^3}\] \[d=1.1\mbox{ kg/m}^3\]

2. Un iceberg tiene una masa de 20\(\cdot 10^6\) kg. Si la densidad el hielo es 0.92 g/ml y la del agua salada 1.03 g/ml, calcular:

   1. El volumen del iceberg.

   2. La proporción de dicho volumen que permanece sumergido.

   Solución

   SOLUCIÓN:
   

   1. El volumen del iceberg será \(V_{ice}=\frac{m}{d}\), donde \(m\) es la masa del iceberg y \(d\) la densidad del hielo, \(d=0.92\) g/ml\(=920\) kg/m\(^3\). Por tanto: \[V_{ice}=\frac{20\cdot 10^9\mbox{ kg}}{920\mbox{ kg/m}^3}=21740\mbox{ m}^3\]

   2. Para que flote, el balance de fuerzas ha de ser cero. Las fuerzas que actúan sobre todo el iceberg son el peso hacia abajo y el empuje hacia arriba. El peso será: \[P=mg\] Mientras que el empuje será el peso del agua desalojada SÓLO por la parte sumergida, \(V_s\): \[E=V_sd_{mar}g\] siendo \(d_{mar}\) la densidad del agua salada, 1.03 g/ml\(=1030\) kg/m\(^3\). El balance de fuerzas será \(P-E=0\), por tanto, \[mg-V_sd_{mar}g=0\] de donde: \[V_s=\frac{m}{d_{mar}}\] Sustituyendo: \[V_s=\frac{20\cdot 10^6\mbox{ kg}}{1030\mbox{ kg/m}^3}=19420\mbox{ m}^3\] es decir, un \(\frac{V_s}{V}=90\)% del total de su volumen está sumergido bajo el agua.

3. El peso de una corona en el aire es 56 N. La misma corona sumergida en agua pesa 52 N. ¿Cuál es la densidad de la corona?
   Solución

   SOLUCIÓN:
   Para poder encontrar la solución, tenemos que tener en cuenta que la densidad es: \[d=\frac{m}{V}\] siendo \(m\) la masa de la corona y \(V\) su volumen. Dado que nos dan el peso real de la corona, \(P=56\) N, podemos calcular su masa: \[m=\frac{P}{g}\] Por otro lado, para calcular el volumen haremos uso del segundo dato que nos dan: el peso aparente dentro del agua \(P_{ap}=52\) N. Del siguiente esquema de fuerzas, es claro que el peso aparente es menor que el peso real debido al empuje:

   

   \[P_{ap}=P-E\] Por lo tanto, conocemos el empuje: \(E=P-P_{ap}\). Dado que éste es el peso del agua desalojada, podemos obtener de ahí el volumen desalojado, es decir, el volumen de la corona: \[E=Vd_{agua}g\] Junto con la ecuación anterior, podemos entonces calcular el volumen como: \[V=\frac{P-P_{ap}}{d_{agua}g}\] Y finalmente, la densidad de la corona será: \[d=\frac{m}{V}=\frac{\frac{P}{g}}{\frac{P-P_{ap}}{d_{agua}g}}\] es decir, \[d=d_{agua}\frac{P}{P-P_{ap}}=1000\mbox{ kg/m}^3\frac{56\mbox{ N}}{56\mbox{ N}-52\mbox{ N}}=14\cdot 10^3\mbox{ kg/m}^3\]

   Principio de Pascal

El experimento de Pascal

4. En el siglo VXII, Pascal realizó el experimento indicado en la figura. Se llenó con agua un barril de vino al que conectó un tubo largo. Tras añadir suficiente cantidad de agua por el tubo, el barril reventó. Si el radio de la tapa del barril era de 20 cm y la altura del agua en el tubo era de 12 m, calcule la fuerza neta ejercida sobre la tapa.

   

   Solución

   SOLUCIÓN:
   Lo primero es hacer un esquema del barril descrito. Es fundamental identificar todas las variables del problema y en particular, todos los elementos que ejercen fuerza sobre la tapa.

   

   No olvidemos que en definitiva, la presión es una fuerza por unidad de superficie, así que sobre la tapa la fuerza neta será las fuerzas de presión de TODOS los fluidos en contacto con ella, concretamente:

   1. El agua en el interior ejerce fuerzas de presión sobre las paredes y sobre la tapa. Esto es \(F_2=P_{sup}S\)

   2. El aire en el exterior ejerce también una fuerza puesto que está en contacto con la tapa. Esto es \(F_1=P_{atm}S\)

   siendo el área \(S=\pi R^2\). La presión en el interior del tanque viene dada por: \[P_{sup}=P_0+dgh\] siendo \(P_0=P_{atm}\), puesto que el extremo del tubo está en contacto con la atmósfera.

   La fuerza neta será: \[F=F_2-F_1=(P_{sup}-P_{atm})S=dghS\] que es una fuerza hacia arriba. Puede verse que la fuerza neta no importa el grosor del tubo. A medida que se va llenando el tubo, la presión en la superficie del agua en el tonel aumenta y por tanto la fuerza que ejerce el líquido sobre la tapa y sobre los laterales. Con los datos del problema obtenemos: \[S=\pi(0.2)^2=0.126\mbox{ m}^2\] \[F=1000\cdot 9.8\cdot 12\cdot 0.126= 14800\mbox{ N}\]