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¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es una de las fundamentales del SI?

Masa.

Longitud.

Energía.

Tiempo.

Todas ellas son magnitudes físicas fundamentales.

SOLUCIÓN: c) Energía.
Al hacer un cálculo, el resultado final tiene las dimensiones m/s en el numerador y m/s\(^2\) en el denominador. ¿Cuáles son las unidades finales?

m\(^2\)/s\(^3\)

s\(^{-1}\)

s\(^3\)/m\(^2\)

s

m/s

SOLUCIÓN: d) s.
Una fuerza tiene dimensiones de masa por aceleración. La aceleración tiene dimensiones de velocidad dividida por tiempo. La presión es una fuerza dividida por un área. ¿Cuáles son las dimensiones de la presión?

SOLUCIÓN:

Las dimensiones de la presión serán entonces:

\[\left [{\rm Pres.} \right ] = \frac{[F]}{[A]} = \frac{ {\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-2}}{{\rm L}^2} = {\rm M} \, {\rm L}^{-1} \, {\rm T}^{-2}\]
Verdadero o falso: para multiplicar dos magnitudes es condición necesaria que tengan las mismas dimensiones.

SOLUCIÓN: Falso. Es necesario que tengan las mismas dimensiones para sumar dos magnitudes, no para multiplicarlas.
Expresar las siguientes magnitudes sin usar prefijos:

30 \(\mu\)W.

5 ns.

4 MW.

35 km.

SOLUCIÓN: a) \(3 \times 10^{-5}\) W \( \, \,\) b) \(5 \times 10^{-9}\) s \(\,\,\) c) \(4 \times 10^6\) W \(\,\,\) d) \(3.5 \times 10^4\) m.
En las ecuaciones siguientes, la distancia \(x\) está en metros, el tiempo \(t\) en segundos y la velocidad \(v\) en metros por segundo. ¿Cuáles son las unidades del SI de las constantes \(A\) y \(B\)?
1. \(x=A+B t\)\( \, \,\)
  
  SOLUCIÓN: \(A\) en metros y \(B\) en m/s.
2. \(x=\frac{1}{2}A t^2\)\( \, \,\)
  
  SOLUCIÓN: \(A\) en m/s\(^2\).
3. \(v^2= 2A x\)\( \, \,\)
  
  SOLUCIÓN: \(A\) en m/s\(^2\).
4. \(x=A \cos (B t)\)\( \, \,\)
  
  SOLUCIÓN: \(B\) en s\(^{-1}\).
5. \(v^2 = A v - \left ( B x \right ) ^2\)\( \, \,\)
  
  SOLUCIÓN: \(A\) en m/s y \(B\) en s\(^{-1}\).
¿Cuáles son las dimensiones de las constantes que aparecen en cada uno de los apartados del problema anterior? Si en el problema anterior se expresa \(x\) en pies, \(t\) en segundos y \(v\) en pies/s, ¿cuáles serían las dimensiones de las constantes \(A\) y \(B\)?

SOLUCIÓN:

a) \([A]=\)L, \([B]=\)L T\(^{-1}\) \(\,\,\) b) \([A]=\)L T\(^{-2}\) \(\,\,\) c) \([A]=\)L T\(^{-2}\) \(\,\,\) d) \([B]=\)T\(^{-1}\) \(\,\,\) e) \([A]=\)LT\(^{-1}\), \([B]=\)T\(^{-1}\).

Las dimensiones de las constantes \(A\) y \(B\) serían las mismas.
En las siguientes expresiones, \(x\) está en metros, \(t\) en segundos, \(v\) en metros por segundo y la aceleración \(a\) en metros por segundo cuadrado. Determinar las unidades del SI de las siguientes combinaciones:

\(v^2/x\).

\(\sqrt{x/a}\).

\(\frac{1}{2}a t^2\)

SOLUCIÓN: a) m/s\(^2\) \( \, \,\) b) s \(\,\,\) c) m.
La ley de la desintegración radiactiva es \(N(t)=N_0 e^{-\lambda t}\), donde \(N_0\) es el número de núcleos radiactivos en el instante \(t=0\), \(N(t)\) es el número que permanece sin desintegrar en el instante \(t\) y \(\lambda\) es la llamada constante de desintegración. ¿Qué unidades tiene \(\lambda\)?

SOLUCIÓN: \(\lambda\) tiene unidades de s\(^{-1}\), ya que el argumento de la función exponencial debe ser dimensional.
La unidad del SI de fuerza, el kilogramo-metro por segundo cuadrado (kg \(\cdot\) m/s\(^2\)) se denomina newton (N). Hallar las dimensiones y las unidades en el SI de la constante \(G\) en la ley de Newton de la gravitación, \[F= G \frac{ m_1 m_2}{r^2} \, .\]

SOLUCIÓN: \[[G] = \left [ \frac{F \, r^2}{m_1 \, m_2} \right ] = {\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-2} \, {\rm L}^2 \, {\rm M} ^{-2} = {\rm M}^{-1} \, {\rm L} ^2 \, {\rm T}^{-2}\]

Y las unidades en el S.I serán por tanto m\(^2\) kg\(^{-1}\) s\(^{-2}\).
Cuando un muelle se estira una distancia \(x\) a partir de su posición de equilibrio, el módulo de la fuerza (\(F\)) viene dado por \(F= k x\) (ley de Hooke):

¿Cuáles son las dimensiones de la constante \(k\)?

¿Cuáles son las dimensiones y las unidades SI de \(k x^2\)?

SOLUCIÓN:

a) \[ [ k ] = \frac{ [ F ] }{ [ x ] } \rightarrow [ k ]={\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-2} \, {\rm L}^{-1} = {\rm M} \, {\rm T}^{-2}\]

b) La dimensión es \({\rm M}\, {\rm L}^2 \, {\rm T}^{-2}\) y la unidad en el SI es el julio (J).
Demostrar que el producto de la masa por la aceleración y la velocidad tiene las dimensiones de una potencia.

SOLUCIÓN:

Por un lado, tenemos que:

\[[m \, a \, v] = {\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-2} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-1} = {\rm M} \, {\rm L}^2 \, {\rm T}^{-3} \, .\]

Y si vemos por otro lado, las dimensiones de la potencia:

\[[{\rm Pot.}] =\frac{[{\rm Trabajo}]}{[{\rm Tiempo}]} = {\rm M} \, {\rm L}^2 \, {\rm T}^{-2}\, {\rm T}^{-1} = {\rm M} \, {\rm L}^2 \, {\rm T}^{-3} \, ,\]

por lo que demostramos que tienen las mismas dimensiones.
El momento lineal de un objeto es el producto de su masa por su velocidad. Demostrar que esta magnitud tiene las dimensiones de una fuerza multiplicada por el tiempo.

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta la definición, llamando al momento lineal \(p\), podemos escribir

\[[p] = [m \cdot v] = {\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-1} \, .\]

Por otro lado, si vemos las dimensiones de una fuerza multiplicada por tiempo

\[ [F \cdot t] = {\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-2} \, {\rm T} = {\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-1} \, ,\]

Por tanto, queda demostrado lo que se pedía.
¿Qué combinación de la fuerza y otra magnitud física tiene las dimensiones de la potencia?

SOLUCIÓN:

Llamemos a esa magnitud física desconocida \(X\). Entonces,

\[[{\rm Pot.}]= [ F \cdot X]\]

Las dimensiones de la potencia sabemos que son M L\(^2\) T\(^{-3}\) (por el ejercicio 12). Por tanto,

\[[X] = \left [ \frac{{\rm Pot.}}{F} \right ] = {\rm M} \, {\rm L}^2 \, {\rm T}^{-3} \, {\rm M}^{-1} \, {\rm L }^{-1} \, {\rm T}^{2} = {\rm L} \, {\rm T} ^{-1}\]

Por tanto, \(X\) corresponde a una velocidad.
Cuando un objeto cae a través del aire, se produce una fuerza de arrastre que depende del producto del área superficial del objeto y del cuadrado de su velocidad, es decir, \(F_{\rm aire}= CAv^2\), donde \(C\) es una constante. Determinar las dimensiones de \(C\).

SOLUCIÓN: \[[C] = \left [ \frac{F}{Av^2} \right ] = {\rm M} \, {\rm L} \, {\rm T}^{-2} \, {\rm L}^{-2} \, {\rm L}^{-2} \, {\rm T}^2 = {\rm M} \, {\rm L}^{ -3}\]

Por tanto, la constante \(C\) tiene dimensiones de densidad.

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PROBLEMAS TEMA 1