EJERCICIOS DE VIBRACIONES

SOLUCIÓN:
Dado que la forma general de un M.A.S. es \[x(t)=A\sin\left(\omega t+\varphi_0\right)\] comparando, vemos que lo que acompaña al tiempo es la frecuencia angular: \[\boxed{\omega=2000\pi\mbox{ rad/s}}\] Frecuencia: Dado que \(\omega=2\pi f\), comparando tenemos que .
Periodo: Puesto que \(T=1/f\), entonces \(T=\frac{1}{1000\mbox{ Hz}}=\boxed{0.001\mbox{ s}}\)
Amplitud: es el factor que acompaña a la función seno o coseno. Por tanto, .

SOLUCIÓN:
La función coseno también describe movimiento armónico simple. La diferencia está sólo en la fase inicial. Por tanto, podemos tomar como forma general \[x(t)=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)\] Comparando, vemos que lo que acompaña al tiempo es la frecuencia angular: \[\boxed{\omega=800\mbox{ rad/s}}\] Frecuencia: Dado que \(\omega=2\pi f\), comparando tenemos que \(f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{800\mbox{ rad/s}}{2\pi}=\boxed{127\mbox{ Hz}}\).
Periodo: Puesto que \(T=1/f\), entonces \(T=\frac{1}{127\mbox{ Hz}}=0.00785\) s \(=\boxed{7.85\mbox{ ms}}\).
Amplitud: Es el factor que acompaña a la función seno o coseno. Por tanto,

SOLUCIÓN:
Dado que \(\omega=\frac{2\pi}{T}\), entonces podemos tomar como forma general \[x(t)=A\cos\left(\frac{2\pi}{T} t+\varphi_0\right)\] Comparando, vemos que en el factor que acompaña al tiempo, el denominador es justamente el periodo: Periodo:
Frecuencia:
Frecuencia angular: \(\omega=2\pi f=\boxed{2.5\mbox{ rad/s}}\)
Fase inicial: \(\boxed{\varphi_0=\pi/2\mbox{ rad}}\)

SOLUCIÓN:

• Fase inicial:
  Describimos el movimiento mediante la función \[x(t)=A\sin\left(\omega t+\varphi_0\right)\] siendo \(A=3 \text{ m}\), y \[\omega=2\pi f=50\pi \mbox{ rad/s}\] En el instante inicial \(t=0\), nos dan \(x(0)=2 \text{ m}\). Según la ecuación anterior, tendremos \[x(0)=A\sin\left(0+\varphi_0\right)\] siendo \(x(0)=2 \text{ m}\), entonces: \[\varphi_0=\arcsin\bigl(\frac{x(0)}{A}\bigr)\] Sustituyendo valores: \[\varphi_0=\arcsin\bigl(\frac{2}{3}\bigr)=\boxed{0.73\mbox{ rad}}\] Finalmente, tendremos que la posición viene determinada por la ecuación: \[x(t)=3\sin\left(50\pi t+0.73\right) \mbox { m}\]

• Posición en el instante \(t=3 \text{ s}\):
  Podemos sustituir \(t=3 \text{ s}\) en la ecuación anterior, o bien tener en cuenta que \(f\) es la frecuencia, es decir, el número de ciclos por segundo. En 3 s se ejecutan \(N=ft=25\cdot 3=75\) ciclos completos. Por tanto, la posición es la misma que la posición inicial: \[\boxed{x(3\mbox{ s})=2\mbox{ m}}\]

SOLUCIÓN:
La siguiente figura muestra la posición en función del tiempo. En el instante inicial la posición es \(x(0)=0\). Como la velocidad es la derivada de la posición, en esta gráfica la velocidad es la pendiente de la curva. Como la velocidad inicial es positiva. entonces, la función \(x(t)\) es cero en el instante inicial con pendiente positiva.

La frecuencia es 0.25 Hz, es decir en 1 s completa 0.25 ciclos; en 3 s completará \(N=ft=0.75=\frac{3}{4}\) de ciclo. Por lo tanto \[x(3\mbox{ s})=\boxed{-3\mbox{ m}}\] Si la velocidad es negativa, entonces:

Ahora la posición mínima \(x=-A\) se alcanza en \(T/4\), mientras que en \(3T/4\) se alcanza la posición máxima \[\boxed{x(t=3\mbox{ s})=A}\]

SOLUCIÓN:
Si hacemos un pequeño esquema:

Vemos que en este movimiento, la proyección sobre el eje x será: \[x(t)=R\cos\left(\varphi\right)\] donde \(\varphi=\omega t\). Dado que tarda un tiempo \(T=2\text{ s}\) en dar una vuelta, es decir, en recorrer un ángulo de 2\(\pi\). Por tanto \[\omega T=2\pi\] de donde, \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\mbox{ s}}=\pi\mbox{ rad/s}\] De modo que la coordenada \(x\) de este movimiento viene descrita por: \[\boxed{x(t)=2\cos\left(\pi t\right)\mbox{ m}}\] Periodo: Dado que tarda 2 s en realizar un ciclo completo, esto es justamente el periodo:
Frecuencia: \(f=1/T=1/2\mbox{ s}=\boxed{0.5\mbox{ Hz}}\)
Frecuencia angular: \(\omega=2\pi/T=\boxed{\pi\mbox{ rad/s}}\).
Amplitud: El valor máximo de x(t) será la longitud de la cuerda: .