Aplicaciones de la derivada

Estudio de una función

Crecimiento y decrecimiento

Si \(f\) es una función derivable definida en un intervalo, entonces

• \(f\) es creciente si, y sólo si, la derivada es mayor o igual que cero;

• \(f\) es decreciente si, y sólo si, la derivada es menor o igual que cero; y

• \(f\) es constante si, y sólo si, la derivada es cero.

Para estudiar el crecimiento de la función \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+1\), estudiamos el signo de la derivada. Primero vemos dónde se anula. \[f'(x)=6x^2-6x-12=0 \text{ si y sólo si } x\in\{-1,2\}.\] Como sabemos donde se anula la derivada, también sabemos donde no se anula. Esto es, la función es monótona en \(]-\infty,-1]\), en \([-1,2]\) y en \([2,+\infty[\). Evaluando la derivada en un punto de cada intervalo, terminamos:

• \(f'(-3)=60 > 0\), y por tanto \(f\) es creciente \(]-\infty,-1]\);

• \(f'(0)=-12 < 0\), en consecuencia \(f\) es decreciente \([-1,2]\); y,

• \(f'(8)=324 > 0\), por lo que \(f\) es creciente \([2,+\infty[\).

¿Sabrías decir algo sobre los máximos y mínimos relativos de esta función?

Extremos relativos

El cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función \(f\) se suele hacer en dos pasos.

1. En primer lugar se calculan los puntos críticos, es decir, resolvemos la ecuación \(f'(x)=0\).

2. Los cambios en la monotonía son suficientes para descubrir los extremos relativos: si la función pasa de creciente a decreciente alcanza un máximo relativo y si pasa de decreciente a creciente tiene un mínimo relativo

3. También podemos sustituir el segundo paso por el estudio de la segunda derivada en los puntos críticos:

   • si \(f'(a)=0\), y además \(f''(a) > 0\), entonces \(f\) tiene un mínimo relativo en \(a\);

   • si \(f'(a)=0\), y además \(f''(a) < 0\), entonces \(f\) tiene un máximo relativo en \(a\).

Si analizamos el signo de la derivada segunda de la función del ejemplo anterior en los puntos críticos que habíamos obtenido, concluimos cuál es mínimo y cuál es máximo. Como \(f''(x)= 12x-6\), tenemos:

• \(f''(-1)=-18 < 0\), por tanto en \(x=-1\) tenemos un máximo relativo;

• \(f''(2)=18 > 0\), por tanto en \(x=2\) tenemos un mínimo relativo.

A esta misma conclusión se llega usando los cambios de monotonía que ya hemos calculado anteriormente.

Ejercicio 1 Calcula los extremos relativos de \(f(x)=x^4+7\).

Concavidad y convexidad

Si \(f\) es una función dos veces derivable,

• Una función es convexa si, y sólo si, la segunda derivada es mayor o igual que cero; y

• una función es cóncava si, y sólo si, la segunda derivada es menor o igual que cero.

Puntos de inflexión

Si \(f''(a)=0\) y \(f'''(a)\neq 0\), decimos que \(f\) tiene un punto de inflexión en \(a\). Esto quiere decir que en dicho punto la función pasa de ser cóncava a convexa o al revés.

Seguimos con la función del ejemplo 2. Como \(f''(x)=12x-6\) tenemos que \(12x-6=0\), o lo que es lo mismo, \(x=1/2\). Ya tenemos nuestro candidato a punto de inflexión. Ahora calculamos la derivada tercera: \(f'''(x)=12\), con lo que \(f'''(1/2)=12 > 0\). Por tanto, tenemos un punto de inflexión en \(x=1/2\). Vamos a calcular ahora si pasa de cóncava a convexa, o viceversa. Para ello, evaluamos \(f''\) en puntos a ambos lados de \(x=1/2\):

• \(f''(0)=-6 < 0\), por lo que la función antes de \(1/2\) es cóncava.

• \(f''(1)=6 > 0\), por lo que la función después de \(1/2\) es convexa.

board = JXG.JSXGraph.initBoard('box2', {boundingbox: [-5, 20, 5, -20], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve = board.create('functiongraph', [function(t){ return(2*t*t*t-3*t*t-12*t+1)}, -10,10]);

Ejemplo 1 Vamos a aplicar todos los apartados anteriores para hacer el estudio completo de la función \(f \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x\).

Crecimiento y decrecimiento

Calculamos los puntos donde se anula la derivada para averiguar el signo del resto. \[f'(x)=3x^2+6x-9 =0,\ x\in\{-3,1\}.\] Miramos el signo de la derivada en algunos puntos intermedios: por ejemplo, \(f'(-10) > 0\), \(f'(0) < 0\) y \(f'(5) > 0\). Por tanto,

• \(f\) es creciente en \(]-\infty , -3]\),

• \(f\) es decreciente en \([-3,1]\) y

• \(f\) es creciente en \([1,+\infty[\).

Extremos relativos

Directamente de los cambios de monotonía ya podemos deducir que

• \(f\) tiene un máximo relativo en \(-3\) y

• \(f\) tiene un mínimo relativo en \(1\).

A la misma conclusión llegamos si evaluamos la segunda derivada: \[f''(x)=6x+6, \quad f''(-3)=-12, \quad \text{y} \quad f''(1)=12.\]

Convexidad y concavidad

Para estudiar la concavidad y convexidad de una función, miramos el signo de la segunda derivada: \[f''(x)=6x+6=0,\ x= -1.\] Por tanto,

• \(f''(x)\) es negativa en \(]-\infty,-1]\) (función cóncava)

• \(f''(x)\) es positiva en \([-1,+\infty[\) (función convexa)

Puntos de inflexión

En \(-1\) la función tiene un punto de inflexión ya que cambia de convexa a cóncava.

board3 = JXG.JSXGraph.initBoard('box3', {boundingbox: [-10, 30, 10, -30], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
curve3 = board3.create('functiongraph', [function(t){ return(t*t*t+3*t*t-9*t)}, -10,10]);
pintae32=function(){
    var f=t => -t*t+2*t;
    var t1 = t => 2*t;
    var t2 = t => -2*(t-2);
    var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox32', {boundingbox: [-1, 3, 3, -1], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
    var curve = board.create('functiongraph',
                    [f, -5,5],{frozen:true});
    board.create('functiongraph',[t1,-5,5],{dash:1,strokeColor:"orange"})
    board.create('functiongraph',[t2,-5,5],{dash:1,strokeColor:"red"})
}
p32=pintae32();

Ejercicio 2  

1. Estudia la función \(f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=3\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}-6\,{x}^{2}+12\,x\).

2. Esboza la gráfica de una función \(f\) definida en \([0,2]\) que verifique que \(f(0)=f(2)=0\), \(f'(0)=2\) y \(f'(2)=-2\).

   Al darnos estos datos, nos están mostrando cómo son las tangentes a la gráfica en \(0\) y en \(2\): \(y=2x\) e \(y=-2(x-2)\), respectivamente.

   Como nos dan cuatro condiciones, podemos probar con un polinomio de grado \(3\) (que tiene cuatro coeficientes). Supongamos que dicho polinomio es \(p(x)= ax^3+bx^2+cx+d\). La condición \(p(0)=0\) implica que \(d=0\), y la condición \(p'(0)=2\) lleva a \(c=2\). Por tanto, nuestro polinomio es \(p(x)=ax^3+bx^2+2x\), al que tenemos que imponer también que \(p(2)=0=8a+4b+4\) y \(p'(2)=-2=12a+4b+2\).
   Resolviendo ese sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos \(a=0\), \(b=-1\). Así \(p(x)=-x^2+2x\).

3. Considera la función \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=\displaystyle e^{\frac{2x}{x^2+1}}\).

   1. Calcula las asíntotas de la gráfica de \(f\).

   2. Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento).

   3. Determina los extremos relativos de \(f\).

   4. Esboza la gráfica de \(f\).

4. Haz un estudio completo de la función \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\) y representa su gráfica.

5. Haz un estudio completo de la función \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\) y representa su gráfica.

6. A partir de la gráfica de \(f(x)=\cos(x)\), dibuja la gráfica de las funciones siguientes:

   1. \(f(x)=\cos(x+1)\),

   2. \(f(x)=\cos(x-1)\),

   3. \(f(x)=\cos(2x)\),

   4. \(f(x)=\cos(x)-1\),

   5. \(f(x)=\cos(x)+1\),

   6. \(f(x)=\lvert\cos(x)\rvert\).

Geometría

La recta tangente a una función \(f\) en un punto de la gráfica \((a,f(a))\) es \[y=f(a)+f'(a)(x-a).\] Por ejemplo, la recta tangente a la función \(f(x)=\log (x)\) en \(x=2\) es, teniendo en cuenta que \(f'(x)=1/x\), \[y=f(2)+f'(2)(x-2)=\log(2)+\frac{1}{2} (x-2).\]

En el siguiente gráfico se representa la función \(\log(x)\) y la tangente en el punto \(A=(a,\log(a))\). Puedes desplazar este punto y ver cómo varía la tangente.

pinta_log= function(){
    var board = JXG.JSXGraph.initBoard('boxg1', {boundingbox: [-4, 4, 4, -4], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
    var curve = board.create('functiongraph',
                    [function(t){ return(Math.log(t))}, -10,10]);
    var a = board.create('glider',[2,Math.log(2),curve], {name:'A',label:{offset:[-10,10]}, strokeColor:"black",fillColor:"white"})
    board.create('functiongraph', [function(t){return (Math.log(a.X())+1/a.X()*(t-a.X()))}, -10,10],{strokeColor:"red"})
}
pg1=pinta_log()

La recta normal en \(x=a\) es la recta perpendicular a la recta tangente que pasa por el punto \((a,f(a))\). Su pendiente será, por tanto, \(-1/f'(a)\). La ecuación de la recta normal a la función \(f\) en el mismo punto es \[y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a).\]

Ejercicio 3 Responde a las siguientes preguntas sobre la parábola \(y=x^2\).

1. Calcula la recta tangente a la parábola \(y=x^2\) en el punto \((3,9)\).

   La derivada de la función \(f(x)=x^2\) es \(f'(x)=2x\). Por tanto, la recta tangente en el punto \((3,f(3))=(3,9)\) es \[y=f(3)+f'(3)(x-3)=9+6(x-3)=6x-9.\]

2. ¿Pasa dicha recta por el punto \((1,3)\)?

   La recta tangente pasa por el punto \((1,3)\) si dicho punto cumple la ecuación de la recta. Veamos, \(3 \neq 6\cdot 1 -9 = -3\). El punto no pertenece a la recta tangente.

3. Calcula aquellos puntos que cumplen que la recta tangente a la parábola pasa por el punto \((1,-3)\).

   La recta tangente en un punto arbitrario \((a,f(a))\) es \[y=f(a)+f'(a)(x-a)=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2\] y lo que queremos encontrar son aquellos valores de \(a\) que hacen que el punto \((1,-3)\) verifique esta ecuación (pertenezca a la recta). Sustituimos \(x\) por \(1\) e \(y\) por \(-3\) y resolvemos:

   \[\begin{aligned} -3=2a\cdot 1 -a^2 & \text{ si y solo si } a^2-2a -3=0, \\ & \text{ que equivale a } a= \frac{2\pm \sqrt{4-4\cdot(-3)}}{2}, \\ & \text{ o sea } a = \frac{2\pm 4}{2} = -1 \text{ ó } 3. \end{aligned}\]

   Resumiendo, la recta tangente en los puntos \((-1,1)\) y \((3,9)\) pasa por el punto \((1,-3)\).

4. Calcula la recta normal a la parábola en el punto \((3,9)\).

   Aplicando la ecuación de la recta normal y teniendo en cuenta que \(f'(3)=6\) nos queda: \[y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)=9-\frac{1}{6}(x-3)= \frac{57-x}{6}.\]

En el siguiente gráfico se representa la función \(x^2\), y la tangente y la normal en el punto \(A=(a,a^2)\). Puedes desplazar este punto y ver cómo varían las rectas tangente y normal.

pinta_parabola = function(){
    var board = JXG.JSXGraph.initBoard('boxg2', {boundingbox: [-5, 9, 5, -1], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
    var curve = board.create('functiongraph',
                    [function(t){ return(t*t)}, -10,10]);
    var A = board.create('glider',[1,1,curve], {name:'A', strokeColor:"black",fillColor:'white'});
    //punto = board.create('point',[function(){return pend.Value()},function(){return pend.Value()*pend.Value()}], {strokeColor:"black",fillColor:'white', name:''})
    board.create('functiongraph', [function(t){return (A.Y()+2*A.X()*(t-A.X()))}, -10,10],{strokeColor:"red"})
    board.create('functiongraph', [function(t){return (A.Y()-1/(2*A.X())*(t-A.X()))}, -10,10],{strokeColor:"green"})
    }
pg2=pinta_parabola()

pintae21=function(){
    var f=function(t){
        return (4*t*t*t-2*t*t+t-1);
    }
    var t1=function(t){
        return -1+t;
    }
    var t2=function(t){
        return -20/27+t-1/3;
    }
    var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox2-1', {boundingbox: [-2, 2, 2, -2], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
    var curve = board.create('functiongraph',
                    [f, -10,10]);
    var tan1= board.create('functiongraph',[t1,-10,10],{strokeColor:"red"});
    var tan2= board.create('functiongraph',[t2,-10,10], {strokeColor:"orange"});
    var bis = board.create('line',[[-10,-10],[10,10]],{strokeColor:"gray",dash:1});
}
pg21=pintae21();

Ejercicio 4  

1. Calcula la ecuación de la recta (o rectas) tangentes a la gráfica de \(f(x)=4x^3-2x^2+x-1\) pararela a la bisectriz del primer cuadrante.

   La bisectriz del primer cuadrante es \(y=x\). Por tanto estamos buscando una tangente a \(f(x)\) con pendiente \(1\), es decir, buscamos \(a\) con \(f'(a)=1\).

   Tenemos pues que resolver la ecuación \(f'(x)=12x^2-4x+1=1\), que equivale a \(12x^2-4x=x(12x-4)=0\). Así las soluciones son \(x=0\) y \(x=\frac{1}3\).

   Sabemos que la recta tangente a \(y=f(x)\) en un punto \(a\) es \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\), por tanto, las rectas tangentes que buscamos son \(y=-1+x\) e \(y=-\frac{29}{27}+x\).

2. Halla los valores de la constante \(\lambda\) para los que las rectas tangentes a las funciones \(f(x)=x^3\) y \(g(x)=(x+\lambda)x\) en el punto \(x=1\) sean:

   1. paralelas,

   2. perpendiculares.

Optimización

En los problemas en los que hay que optimizar una cantidad, ya sea buscar un máximo o un mínimo, los pasos suelen ser los siguientes.

1. Planteamos analíticamente la función a optimizar utilizando tantas variables como sean necesarias.

2. Buscamos las relaciones entre las diferentes variables usando los datos del enunciado y dejamos todas en función de una de ellas.

3. Derivamos, igualamos a cero y calculamos los puntos críticos.

4. Comprobamos con la segunda derivada o con el estudio de la monotonía que tenemos un máximo o un mínimo relativo.

Ejemplo 2 Vamos a calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio \(10\).

En la siguiente representación gráfica, puedes desplazar el punto rojo. El área del rectángulo correspondiente se calculará automáticamente.

pinta_rect=function(){
    //JXG.Options.text.useMathJax = true;
    var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box4', {boundingbox: [-15, 15, 15, -5], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
    var q1 = board.create('point',[-10,0],{visible:false});
    var q2 = board.create('point',[10,0],{visible:false});
    var sc = board.create('semicircle',[q1,q2],{withLabel:false, fixed:true} );
    var ox = board.create('segment',[[0,0],[10,0]],{fixed:true, visible:false});
    var p1 = board.create('glider',[5,0,ox],{name:'x'});
    board.create('polygon', [[function(){return -p1.X()},0],[function(){return p1.X()},0],[function(){return p1.X()},function(){return Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X())}],[function(){return -p1.X()},function(){return Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X())}]], {vertices:{fixed:true, visible:false}} );
    //board.create('text',[function(){return p1.X()+.5},function(){return Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X())+.5},function(){return "\\( \\left(x,\\sqrt{100-x^2}\\right)\\)"}],{fixed:true})
    board.create('text',[-10,-2,function(){
    var a = 2*p1.X()*Math.sqrt(100-p1.X()*p1.X());
    return "Área "+ a.toFixed(3) }],{fontSize:14})
    board.update()
}
pr5= pinta_rect()

1. Según hemos comentado, el primer paso es encontrar la función a optimizar. Si llamamos \(x\) al extremo inferior derecho del rectángulo e \(y\) a la altura, el área es \(2xy\).

2. ¿Cómo podemos relacionar \(x\) e \(y\)? Hay varias formas de hacerlo: la circunferencia centrada en el origen y de radio \(10\) está formada por los puntos \((x,y)\) que cumplen la ecuación \[x^2+y^2=100\] con lo que despejando, \(y = \sqrt{100-x^2}\). Ya podemos escribir la función a optimizar: \[f\colon [0,10]\rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=2xy=2x\sqrt{100-x^2}.\]

3. Derivamos

   \[ \begin{aligned} f'(x) & = 2\left( \sqrt{100-x^{2}}- \frac{\cancel{2}x^{2}}{\cancel{2}\sqrt{100-x^{2}}} \right) = 2\left( \frac{100 -x^2}{\sqrt{100-x^2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ & = \frac{2\, (100 -2x^2)}{\sqrt{100-x^2}},\end{aligned} \]

   e igualamos a cero \[f'(x)=0 \text{ que equivale a } 100-2x^{2}=0.\] Por tanto las raíces son \(-5\sqrt{2}\) y \(5\sqrt{2}\). Como la \(x\) tiene que ser positiva, llegamos a que la función tiene un punto crítico en \(5\sqrt{2}\).

4. Para comprobar que es un máximo, vemos que la segunda derivada es negativa: \[f''(x)=-\frac{6x}{\sqrt{100-{x}^{2}}}-\frac{2x^{3}}{{\left( 100-{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\] y \(f''(5\sqrt{2})=-8\).

   También podemos comprobar si es un máximo, estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados del punto crítico. En este caso, el signo de \(f'(x)\) queda determinado por el signo de \(g(x)=100-2x^2\). Evaluando \(g\) en, por ejemplo, \(5\sqrt{2}-\frac{1}{2}\) y \(5\sqrt{2}+\frac{1}{2}\), obtenemos aproximadamente \(3.62\) y \(-4.48\), respectivamente. De aquí deducimos que la función \(f\) crece a la izquierda de \(5\sqrt{2}\) y decrece a su derecha. Por tanto, en \(5\sqrt{2}\) se alcanza un máximo relativo.

5. El área máxima es \(100\).

Ejercicio 5 Dibuja la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de \(y=\sqrt{x}\), \(x=6\), \(y=0\) y calcula las dimensiones del rectángulo inscrito de lados paralelos a los ejes y que tenga máxima área.

Al ser un rectángulo inscrito en dichas gráficas y de lados paralelos a los ejes, dos de sus lados se tienen que apoyar en \(y=0\) y en \(x=6\), respectivamente. Por tanto, tiene que tener el siguiente aspecto.

Puedes desplazar el punto rojo y ver cómo varía el área.

pintae5= function (){
    var f=function(t){
        if((t<=0) || (t>6)){
            return 0;
        }
        return Math.sqrt(t);
    }
    var board = JXG.JSXGraph.initBoard('ebox5', {boundingbox: [-1, 3, 7, -1], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
    var curve = board.create('functiongraph',
                    [f, -.1,6.1],{frozen:true});
    board.create('integral', [[0,6], curve], {withLabel:false, fixed:true, curveRight:{visible:false}, curveLeft:{visible:false},color:"gray",frozen:true});
    board.create('line',[[6,-10],[6,10]],{strokeColor:"gray",dash:1,fixed:true});
    var ds = board.create('glider',[2,4,curve],{name:''});
    var pol = board.create('polygon',[[function(){return ds.X()},0],[6,0],[6,function(){return ds.Y()}],[function(){return ds.X()}, function(){return ds.Y()}]], {vertices:{fixed:true, visible:false}});
    board.create('text',[2,-.5,function(){
        var a = (6-ds.X())*ds.Y();
        return "Área "+ a.toFixed(3) }],{fontSize:14})
}
p5=  pintae5();

El área que hay que maximizar es por tanto \(f(x)=(6-x)\sqrt{x}\), que alcanza el valor máximo \(4\sqrt{2}\) en \(x=2\).

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Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con JSXGraph. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.