function pinta_int_parabola(){
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('box', {boundingbox: [-5, 9, 5, -1], axis:true, showCopyright:false, showNavigation:false});
var curve = board.create('functiongraph',[function(t){ return(t*t)}, -10,10]);
var i1 = board.create('integral', [[1.0, 2.0], curve], {withLabel:false});
var t_int = board.create('text',[-4,-.8,function(){return 'Área='+i1.Value().toFixed(3)}],{fontSize:16, fixed:true})
}
ppar = pinta_int_parabola()Concepto de primitiva
Sean \(I\) un intervalo de \(\mathbb{R}\) y \(f \colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función. Se dice que \(F\colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es una primitiva de \(f\) si \(F\) es derivable y \(F\,'(x) = f(x)\) para todo \(x \in I\).
Todas las primitivas de una función se conocen en cuanto se conoce una. De hecho, si \(F\) es una primitiva de \(f\), las funciones de la forma \(F+C\), con \(C \in \mathbb{R}\), son también primitivas de \(f\).
Para representar una primitiva de una función usaremos la notación F(x)=\(\int f(x) \, dx\).
Primitivas inmediatas
Si conocemos bien las derivadas de las funciones elementales, conoceremos bien la tabla de primitivas inmediatas. En el siguiente cuadro tenemos las primitivas de las funciones usuales.
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\,dx\) |
|---|---|
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(1/x\) | \(\log (\lvert x\rvert )\) |
| \(a^x\) | \(a^x/\log(a)\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\operatorname{sen}(x)\) | \(-\cos(x)\) |
| \(\cos(x)\) | \(\operatorname{sen}(x)\) |
| \(\tan(x)\) | \(-\log (\lvert\cos(x)\rvert )\) |
| \(\sec^2(x)\) | \(\tan(x)\) |
| \(\text{cosec}^2(x)\) | \(-\text{cotan}(x)\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\operatorname{arcsen}(x)\) |
| \(\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos(x)\) |
| \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan(x)\) |
Cálculo de integrales
La siguiente regla se aplica para calcular la integral de una función en un intervalo de la forma \([a,b]\).
Regla de Barrow: Sea \(f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) una función integrable y \(F\) una primitiva de \(f\). Entonces, \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a) \ .\]
Vamos a calcular la integral de la función \(f(x)=x^2\) en el intervalo \([1,2]\).
Calculamos una primitiva de \(f\): \[F(x)=\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.\]
Aplicamos la Regla de Barrow: \[\int_1^2f(x) \, dx = F(2)-F(1)= \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.\]
En la siguiente gráfica se representa la función \(x^2\) y su integral entre \(1\) y \(2\). Puedes mover los límites de integración desplazando los puntos en la curva.
Propiedades de las integrales
La integral de una suma es la suma de las integrales; es decir, \[\int_a^b (f+g)(x)\, dx = \int_a^b f(x) \, dx +\int_a^b g(x) \, dx \ .\]
Cuando el integrando presenta un factor común constante, el resultado es el siguiente: \[\int_a^b \alpha \, f(x)\, dx = \alpha \, \int_a^b f(x) \, dx \ .\]
Ejercicio 1 Calcula una primitiva de las siguientes funciones:
\(f(x)=4x^3-5x^2-7x+1\),
\(\int f(x)\, dx= x^4 - (5 x^3)/3 - (7 x^2)/2 + x\),
\(f(x)=x^2+\frac{1}{x}\),
\(\int f(x)\, dx= \dfrac{x^3}{3} + \log(\lvert x\rvert )\),
\(f(x)=5\sqrt{x}\),
\(\int f(x)\, dx= \dfrac{10 x^{3/2}}{3}\),
\(f(x)=\sqrt[4]{x^3}\).
\(\int f(x)\, dx= \dfrac{4}{7} x\sqrt[4]{x^3}\).
Métodos de integración
Cambio de variable
En determinadas integrales nos interesa hacer un cambio de variable, esto es, \(x=g(t)\), con el objetivo de que la nueva integral sea más sencilla de calcular. Utilizaremos entonces el siguiente resultado.
Si aplicamos este método a algunas de las primitivas inmediatas, obtenemos las siguientes reglas.
- \(\int g^{\prime}(x) g(x)^{n}\, dx = \frac{1}{n+1} g(x)^{n+1}+ C\).
- \(\int g^{\prime}(x) e^{g(x)}\, dx = e^{g(x)}+C\).
- \(\int \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\, dx= \log(\vert g(x)\vert) +C\).
Como ejemplo, calculemos \(\int\frac{x}{x^2+1}\, dx\). Observamos que el numerador es "casi" la derivada del denominador; intentemos sacar provecho de esto. Multiplicamos y dividimos por \(2\) y queda \[\int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx.\]
Tomando \(g(x)=x^2+1\), esta integral es de la forma \(\int\frac{g'(x)}{g(x)}\, dx\), que por el cambio de variable, tomando \(f(x)=\frac{1}x\), obtenemos \[ \int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx= \frac{1}2 \log (x^2 +1)+ C. \]
Vamos ahora a calcular \[\int \frac{e^{x}+3e^{2x}}{2+e^{x}}\, dx .\] En este caso no se ve claramente la composición en el integrando. Hacemos en este caso el cambio de variable: \(y=e^x\).
\[\begin{aligned} \int \frac{e^{x} + 3 e^{2x}}{2 + e^{x}}\, dx & = \left[ \begin{matrix} y=e^{x} \\ dy=e^{x}\, dx \ ; \ dx= \frac{dy}{y} \end{matrix} \right] = \int \frac{y + 3y^{2}}{2 + y}\cdot \frac{1}{y}\, dy \\ & = \int \frac{1 + 3 y}{2+y}\, dy =\int \left( 3 - \frac{5}{2+y}\right)\, dy \\ & = 3 y - 5 \log \lvert {y + 2} \rvert +C = 3e^{x} - 5 \log \left(e^{x} +2\right) +C .\end{aligned}\]
Ejercicio 2 Calcula una primitiva de las siguientes funciones:
\(f(x)=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+4}\),
\(f(x)=\dfrac{\log(x)}{x}\),
\(f(x)=(x^2-1) \, e^{x^3-3x+5}\),
Obsérvese que la derivada del exponente de \(e\) es casi el factor que multiplica. Para ajustarlo, basta multiplicar y dividir por \(3\). Así haciendo el cambio \(g(x)=x^3-3x+5\) y \(f(x)=e^x\), \[ \int (x^2-1) \, e^{x^3-3x+5}\, dx= \frac{1}{3} \int (3x^2-3) \, e^{x^3-3x+5}\, dx =\frac{1}3 e^{x^3-3x+5} +C. \]
\(f(x)=\dfrac{2^{1/x}}{x^2}\),
Teniendo en cuenta el cambio de variable y la primitiva de la función exponencial, \(\int g'(x)a^{g(x)}\, dx = \dfrac{a^{g(x)}}{\log(a)}\). Tomando \(g(x)=\dfrac{1}x\),obtenemos \(\int \frac{1}{x^2}2^{\frac{1}{x}}\, dx= -\int-\frac{1}{x^2} 2^{\frac{1}{x}}\, dx= -\frac{2^\frac{1}x}{\log(2)}+C\).
\(f(x)=(8x-3)(4x^2-3x+8)^{10}\),
\(f(x)=(x^2-1)(x^3-3x+5)^{1/2}\),
\(f(x)=x^3 \, \sqrt{x^4+1}\).
Teniendo en cuenta el cambio de variable y la primitiva de la función potencial, \(\int g'(x)g(x)^{\frac{1}2}\, dx = \dfrac{g(x)^{\frac{1}2+1}}{\frac{1}2+1}= \dfrac{2g(x)^{\frac{3}2}}{3}\). Tomando \(g(x)=x^4+1\), obtenemos \(\int x^3\sqrt{x^4+1}\, dx= \frac{1}{4}\int 4x^3(x^4+1)^{\frac{1}{2}}\, dx= \dfrac{(x^4+1)^{\frac{3}2}}{6} +C\).
Integración por partes
Si \(u\) y \(v\) son dos funciones derivables, teniendo en cuenta que \((u\cdot v)'=u\cdot v'+v\cdot u'\), obtenemos que \[\int u(x)v'(x)\, dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\, dx.\] Esta fórmula aparece escrita en muchas ocasiones de la forma \[\int u \, dv = uv - \int v \, du.\] El siguiente teorema especifica con un poco más de rigor las condiciones necesarias.
Ejemplo 1 Calculemos \(\int x\, e^{x}\, dx\). \[\int x\, e^{x}\, dx = \left[ \begin{matrix} u=x, & du=dx \\ dv=e^{x}\,dx, & v=e^{x} \end{matrix} \right] = x\,e^{x} - \int e^{x} \, dx = x\,e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1) .\]
Ejercicio 3 Calcula una primitiva de las siguientes funciones:
\(f(x)=\log(5x)\),
Hacemos integración por partes con \(u(x)=\log(5x)\) y \(dv=1\, dx\) (y por tanto \(v(x)=x\)). Tenemos así que \(\int \log(5x)\, dx= \log(5x)x-\int x\frac{5}{5x}\, dx= \log(5x)x-x+C\).
\(f(x)=x^2 \, e^{-x}\),
\(f(x)=\arctan(x)\),
\(f(x)=\operatorname{sen}(x) \, e^{x}\),
\(f(x)=x \log(x)\).
Hacemos integración por partes con \(u(x)=\log(x)\) y \(d v=x\, dx\) (y por tanto \(v(x)=x^2/2\)). Tenemos así que \(\int x\log(x)\, dx= \frac{1}2x^2\log(x)-\int \frac{1}2x\, dx= \frac{1}2x^2\log(x)-\frac{1}4x^2+C\).
Integración de funciones racionales
En este apartado vamos a estudiar el cálculo de \(\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}\, dx\), donde \(P\) y \(Q\) son funciones polinómicas. Obviamente, si el grado de \(P\) es mayor o igual que el de \(Q\), podemos dividir los dos polinomios obteniendo \[\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{G(x)}{Q(x)},\] donde \(H(x)\) y \(G(x)\) son polinomios y el grado de \(G\) es menor que el grado de \(Q\). Por tanto, de aquí en adelante supondremos siempre que el grado de \(P\) es menor que el grado de \(Q\).
Estudiaremos el caso en que \(Q(x)\) admite raíces reales. En este caso el denominador tiene la forma \(Q(x)= (x-a_{1})^{r_{1}}(x-a_{2})^{r_{2}} \ldots (x-a_{n})^{r_{n}}\), y podemos descomponer la fracción \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) en fracciones simples
\[\begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} & = \frac{A_{1}}{x-a_{1}}+ \frac{A_{2}}{(x-a_{1})^{2}} + \cdots + \frac{A_{r_{1}}}{(x-a_{1})^{r_{1}}} \\ & \quad + \frac{B_{1}}{x-a_{2}}+ \frac{B_{2}}{(x-a_{2})^{2}} + \cdots + \frac{C_{r_{n}}}{(x-a_{n})^{r_n}} \, .\end{aligned}\]
Cada una de estas fracciones son de integración inmediata.
Ejemplo 2 Calculemos \(\displaystyle\int \frac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} \, dx\).
\[\begin{aligned} \frac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} & = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}+ \frac{D}{(x+1)^{3}} \\ & = \frac{A(x+1)^{3}+B(x-1)(x+1)^{2}+C(x-1)(x+1) + D(x-1)}{(x-1)(x+1)^{3}} \\ & = \frac{(A+B)x^3 +(3A+B+C)x^2 + (3A-B+D)x+ A-B-C-D}{(x-1)(x+1)^{3}}.\end{aligned}\]
Igualando coeficientes nos queda el sistema
\[\left\{\begin{alignedat}{5} A&& {}+B&& && && {}=0, \\ 3A&& {}+ B&& {}+C&& && {}=0, \\ 3A&& {}-B&& &&{}+D && = 0, \\ A&& {}-B&& {}-C&& {}-D && {}=1. \end{alignedat}\right.\] que tiene como soluciones \(A =1/8\), \(B = -1/8\), \(C=-1/4\) y \(D=-1/2\). La integral queda
\[\begin{aligned} \int \frac{dx}{(x-1)(x+1)^{3}} & = \frac{1}{8}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{8} \int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{4} \int \frac{dx}{(x+1)^{2}} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{(x+1)^{3}} \\ & = \frac{1}{8} \log \vert x-1 \vert -\frac{1}{8} \log \vert x+1 \vert + \frac{1}{4(x+1)} + \frac{1}{4(x+1)^{2}} . \end{aligned}\]
Ejercicio 4 Calcula una primitiva de las siguientes funciones:
\(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+2x-3}\),
Nótese que el numerador tiene grado menor que el denominador, por lo que no es necesario hacer ninguna simplificación previa. Además, \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\). Debemos expresar
\[\dfrac{x+1}{x^2+2x-3} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}=\dfrac{A(x+3)+B(x-1)}{x^2+2x-3}.\]
Por tanto \(x+1=A(x+3)+B(x-1)=(A+B)x+(3A-B)\). De aquí se deduce que \(A+B=1\) y \(3A-B=1\). Entonces, \(A=\dfrac{1}2\) y \(B=\dfrac{1}2\).
La integral a calcular es
\[\begin{align*} \int f(x)\, dx &= \dfrac{1}2\int\dfrac{1}{x+3}\, dx+\dfrac{1}2\int\dfrac{1}{x-1}\, dx\\ & = \dfrac{1}2(\log(|x+3|)+\log(|x-1|))+C. \end{align*} \]
Esta integral también se puede hacer mediante un cambio de variable, pues el numerador es "casi" la derivada del denominador:
\[\begin{align*} \int \dfrac{x+1}{x^2+2x-3}\, dx & = \dfrac{1}2 \int \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3}\, dx = \dfrac{1}2\log(|x^2+2x-3|)+C \\ & = \dfrac{1}2(\log(|x+3|)+\log(|x-1|))+C \end{align*} \]
(el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos).
\(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\),
Podemos escribir \(x^2+1=x^2-1+2\), con lo que obtenemos directamente el cociente y resto de la división del numerador entre el denominador. Así, \(\int f(x)\, dx=\int 1\, dx + \int \dfrac{2}{x^2-1}\, dx\). Por otro lado, \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Tenemos que expresar
\[\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}=\dfrac{A(x+1)+B(x-1)}{x^2-1}.\]
Luego \(2=(A+B)x+(A-B)\), de lo que se deduce que \(A+B=0\) y \(A-B=2\). Los valores de \(A\) y \(B\) son \(1\) y \(-1\), respectivamente. Nuestra integral queda como sigue:
\[\int f(x)\, dx= x+ \int \dfrac{1}{x-1}\, dx-\int \dfrac{1}{x+1}\, dx=x+\log(|x-1|)-\log(|x+1|)+C. \]
\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^3-4x^2+5x-2}\),
\(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^3-3x-2}\),
\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^4-4x^3}\),
\(f(x)=\dfrac{x}{x^3-3x^2+3x-1}\).
Ejercicio 5 Calcula las integrales siguientes:
\(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{\log(x)}{x} dx\),
\(\displaystyle\int_0^1 \operatorname{arcsen}(x) \, dx\),
\(\displaystyle\int_1^{\pi} \operatorname{sen}(x) \, e^{x} \, dx\),
\(\displaystyle\int_2^3 \dfrac{x}{x^3-3x^2+3x-1} \, dx\),
\(\displaystyle\int_1^{2/5} \log (5x) \, dx\),
\(\displaystyle\int_0^1 x^3 \, \sqrt{x^4+1} \, dx\).
Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez. Cambios en la redacción original y ejemplos aportados por María Burgos.