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pv = pinta()
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// Infinite Plane by point and two directions
var plane = view.create('plane3d', [O, A, B, [-Infinity, Infinity], [-Infinity, Infinity]], {color: 'blue', fillOpacity: 0.2, visible: true, fixed: true});
}
pv3 = pinta3()Definición de espacio vectorial
Sea \(K\) un cuerpo (puede ser \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\)). Un espacio vectorial sobre \(K\) es una estructura formada por:
Un conjunto no vacío \(V\), a cuyos elementos llamaremos vectores.
Una operación sobre \(V\) a la que llamaremos suma de vectores, \(+\colon V \times V \rightarrow V\) que cumple las propiedades siguientes para cualesquiera \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) en \(V\):
Asociativa: \(( \mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})\).
Elemento neutro: existe un elemento \(\mathbf{0}\) en \(V\) tal que \(\mathbf{u}= \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u}\).
Elemento inverso: para todo \(\mathbf{u}\) existe \(-\mathbf{u}\) tal que \(\mathbf{0} = (-\mathbf{u}) + \mathbf{u} = \mathbf{u} + (-\mathbf{u})\). Al elemento \(-\mathbf{u}\) se le llama opuesto de \(\mathbf{u}\). Normalmente escribiremos \(\mathbf{u} - \mathbf{v}\) en lugar de \(\mathbf{u} + (-\mathbf{v})\).
Conmutativa: \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}\)
Una aplicación \(K \times V \rightarrow V,\) que a cada par \(( a,\mathbf{v})\) con \(a\) en \(K\) y \(\mathbf{v}\) en \(V\) le asigna el vector \(a\mathbf{v}\). Esta aplicación, llamada producto por escalares cumple las propiedades siguientes para cualesquiera \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) en \(V\), \(a,b\) en \(K:\)
- \(a( \mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v},\)
- \((a + b)\mathbf{u} = a\mathbf{u} + b\mathbf{u},\)
- \(a\left( b\mathbf{u} \right) = (ab)\mathbf{u},\)
- \(1\mathbf{u} = \mathbf{u}.\)
Ejemplo 1 Si tomamos \(V=\mathbb{R}^2\) y \(K=\mathbb{R}\), entonces \(V\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\) con la suma de vectores y el producto por escalares definidos de la forma habitual, esto es, para cualesquiera \(\mathbf{u}=(u_1,u_2)\), \(\mathbf{v}=(v_1,v_2)\) en \(V\) y \(a\) en \(K\):
\[\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)\] \[a\mathbf{u} = (au_1, au_2)\]
En la siguiente figura se ilustra cómo es la suma de vectores en \(\mathbb{R}^2\). Puedes desplazar los puntos naranjas paca cambiar los vectores y ver cómo se obtiene el vector suma (en verde). Nótese que se forma un paralelogramo para obtener el vector suma, lo que se conoce como la regla del paralelogramo. Los segmentos azules son paralelos a los vectores originales y tienen la misma longitud que ellos.
El producto por escalares se ilustra en la siguiente figura. Puedes desplazar el punto naranja para cambiar el vector y el deslizador para cambiar el escalar y ver cómo se obtiene el vector resultante (en verde).
Propiedades que se deducen de la definición
Teniendo en cuenta las propiedades que definen a un espacio vectorial \(V\) sobre \(K\), es fácil ver que se cumeplen las siguientes propiedades.
\(0\mathbf{u} = \mathbf{0}\), para todo \(\mathbf{u}\) en \(V\).
\(a\mathbf{0} = \mathbf{0}\) para todo \(a\) en \(K\).
\(a (-\mathbf{u}) = (-a)\mathbf{u} = - (a\mathbf{u})\) para todo \(\mathbf{u}\)en\(V\), \(a\) en \(K\).
\(a\mathbf{u} = \mathbf{0}\) sí y sólo si \(a = \mathbf{0}\) o \(\mathbf{u} = \mathbf{0}.\)
\(a ( \mathbf{u} - \mathbf{v}) = a\mathbf{u} - a\mathbf{v},\) para todo \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) en \(V\), \(a\) en \(K\).
\((a - b)\mathbf{u} = a\mathbf{u} - b\mathbf{u},\) para todo \(\mathbf{u}\) en \(V\), \(a,b\) en \(K\).
Si \(a\mathbf{u} = a\mathbf{v}\) y \(a \neq 0,\) entonces \(\mathbf{u} = \mathbf{v}.\)
Si \(a\mathbf{u} = b\mathbf{u}\) y \(\mathbf{u} \neq \mathbf{0},\) entonces \(a = b.\)
Subespacios vectoriales
Un subconjunto \(U\) no vacío de un espacio vectorial \(V\) (sobre un cuerpo \(K\)) es un subespacio vectorial de \(V\) si \(U\) con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por escalares en \(V\)) es también un espacio vectorial sobre \(K\).
Equivalentemente, un subconjunto \(U\) no vacío de un espacio vectorial \(V\) es un subespacio vectorial de \(V\) si y solo si se cumple que:
Si \(\mathbf{u},\mathbf{v} \in U,\) entonces \(\mathbf{u} - \mathbf{v} \in U\) (\(U\) es un subgrupo del grupo \(V\)),
Si \(a \in K\) y \(\mathbf{u} \in U,\) entonces \(a\mathbf{u} \in U.\)
Estas dos propiedades se cumplen si y sólo si, se verifica que
es decir, \(U\) es cerrado para combinaciones lineales de sus elementos.
Ejemplo 2 Si \(K\) es un cuerpo, entonces para cualquier entero positivo \(n\), \(K^{n}\) es un espacio vectorial sobre \(K\). En particular, para cada entero positivo \(n\), el conjunto \(\mathbb{R}^{n}\) de las \(n\)-uplas \(\mathbf{x} = (x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\) de componentes reales es un espacio vectorial con las operaciones:
suma de vectores: \[ \mathbf{x}\mathbf{+ y} = (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) + \left( y_{1},y_{2},\dots,y_{n} \right) = (x_{1} + y_{1},x_{2} + y_{2},\dots,x_{n} + y_{n}). \]
producto por escalar \[ a\mathbf{x} = a ( x_{1},x_{2},\dots,x_{n} ) = (a x_{1},a x_{2},\dots,a x_{n}). \]
El subconjunto \(U = \{(x,0,\dots,0) : x \in \mathbb{R}\}\) de \(n\)-uplas con todas las coordenadas igual a 0 excepto la primera, es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^{n}.\) En efecto,
\[ (x,0,\dots,0) - (y,0,\dots,0)= (x - y,0,\dots,0), \]
lo que muestra que para cualesquiera \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in U,\) \(\mathbf{x} - \mathbf{y} \in U\). Además, para todo \(a \in \mathbb{R}\) y \(\mathbf{x} = (x,0,\dots,0) \in U\)
\[a\mathbf{x} = a(x,0,\dots,0) = (ax,0,\dots,0).\]
Luego \(a\mathbf{x} \in U.\)
Ejemplo 3 Si \(K\) es un cuerpo, entonces para cualesquiera enteros positivos \(n\) y \(m\), \(\mathcal{M}_{m \times n}(K)\) (el conjunto de todas las matrices \(m \times n\) con entradas en \(K\)) es un espacio vectorial sobre \(K.\) En particular, \(\mathcal{M}_{n}( \mathbb{R} )\) (matrices cuadradas de orden \(n\) con coeficientes en \(\mathbb{R}\)) es un espacio vectorial con las operaciones habituales de suma de matrices (suma de vectores) y el producto por números reales (producto por escalares). Son subespacios vectoriales de \(\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R} \right)\):
el subconjunto de todas las matrices que tienen la primera entrada nula,
el subconjunto de todas las matrices triangulares superiores,
el subconjunto formado por las matrices simétricas, etc.
Ejemplo 4 El conjunto de las funciones reales definidas en un dominio \(D\subseteq \mathbb{R}\), \(V = \mathcal{F}(D,\mathbb{R})\), es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\), con las operaciones suma de vectores y producto por escalares siguientes:
\((\mathbf{f} + \mathbf{g})(x) = \mathbf{f}(x) + \mathbf{g}(x)\), para todo \(x \in \mathbb{R}\).
\((a\mathbf{f})(x) = a\mathbf{f}(x)\), para todo \(x \in \mathbb{R}\).
El subconjunto \(U = \mathcal{C}(D,\mathbb{R})\) de las funciones reales continuas en \(D\), es un subespacio vectorial de \(V = \mathcal{F}(D,\mathbb{R})\).
Ejercicio 1 Sea \(U=\{ (x,y,z) \in \mathbb{Q}^3 : x+2y-z=0\}\). Demuestra que \(U\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{Q}^3.\)
Tomemos \(\mathbf{u} = (x_{1},y_{1},z_{1})\) y \(\mathbf{v} = (x_{2},y_{2},z_{2})\) en \(U,\) y \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Tenemos que probar que \(a\mathbf{u} + b\mathbf{v} \in U.\)
Nótese que, \[a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = (ax_{1} + bx_{2}, ay_{1} + by_{2}, az_{1} + bz_{2}),\]
y como \(x_{1} + 2y_{1} - z_{1} = 0\) y \(x_{2} + 2y_{2} - z_{2} = 0,\) se tiene que
\[(ax_{1} + bx_{2}) + 2(ay_{1} + by_{2}) - (az_{1} + bz_{2}) = a(x_{1} + 2y_{1} - z_{1}) + b(x_{2} + 2y_{2} - z_{2}) = 0.\]
Esto demuestra \(a\mathbf{u} + b\mathbf{v} \in U.\)
Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre el cuerpo \(K.\) Dado un subconjunto \(S = \left\{ \mathbf{u}_{1},\dots,\mathbf{u}_{n} \right\}\) de vectores en V, se llama combinación lineal de vectores de \(S\) a todo vector \(\mathbf{x}\) que se pueda expresar de la forma
\[ \mathbf{x} = a_{1}\mathbf{u}_{1} + \cdots + a_{n}\mathbf{u}_{n}, \]
para convenientes \(a_{1},\dots,a_{n} \in K.\) En este caso, se dice también que \(\mathbf{x}\) es combinación lineal de los vectores \(\mathbf{u}_{1},\dots,\mathbf{u}_{n}.\)
El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de \(S = \left\{ \mathbf{u}_{1},\dots,\mathbf{u}_{n} \right\}\), es el menor subespacio vectorial de entre todos los subespacios de V que contienen a S (menor respecto a la inclusión). Denotamos dicho subespacio como \(\langle S\rangle,\) y diremos que \(S\) es un sistema de generadores de \(\langle S\rangle.\)
\[ \langle S\rangle = \{ a_{1}\mathbf{u}_{1} + \cdots + a_{n}\mathbf{u}_{n}:a_{1},\dots,a_{n} \in K\}. \]
Si \(U=\langle S\rangle,\) entonces decimos que \(U\) es el subspacio vectorial de \(V\) generado por el conjunto de vectores \(S.\)
En la siguiente figura se ilustra el subespacio vectorial generado por dos vectores en \(\mathbb{R}^3\). Puedes desplazar los puntos naranjas para cambiar los vectores y ver cómo se obtiene el plano (en azul) que es el subespacio vectorial generado por esos dos vectores.
Ejemplo 5 En el espacio vectorial \(\mathcal{M}_{2}( \mathbb{R})\) consideremos los vectores:
\[\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \mathbf{v} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]
El subespacio generado por estos dos vectores, \(\{a\mathbf{u} + b\mathbf{v} : a,b \in \mathbb{R}\}\), es el subespacio de las matrices con ceros en la diagonal principal. En efecto, para cualesquiera \(a,b \in \mathbb{R},\)
\[ a\mathbf{u} + b\mathbf{v}\mathbf{=}a\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix}. \]
Ejemplo 6 En el espacio vectorial de las funciones reales de variable real, \(\mathcal{F}(\mathbb{R,R)}\), consideremos los vectores \(\mathbf{p}(x) = x\) y \(\mathbf{q}(x) = x^{2}\). El subespacio generado por estos dos vectores, \(\{ a\mathbf{p}(x) + b\mathbf{q}(x) : a,b \in K\}\), es el subespacio de las funciones polinómicas de grado a lo sumo dos que pasan por el origen de coordenadas. En efecto, para cualesquiera \(a,b \in \mathbb{R}\),
\[ a\mathbf{p}(x) + b\mathbf{q}(x) = ax + bx^{2}. \]
Ejercicio 2 Determina el valor de \(a\) para que el vector \((1,a,7)\in\mathbb{R}^3\) pertenezca al subespacio \(U\) generado por \(\{(1,2,3),(0,1,2)\}\).
El vector \((1,a,7)\) pertenece a \(U\) si existen números reales \(\alpha\) y \(\beta\) tales que \((1,a,7)=\alpha(1,2,3)+\beta (0,1,2)\), lo que se traduce en el sistema: \[ \begin{cases} 1=\alpha, \\ a=2\alpha+\beta, \\ 7=3\alpha+2\beta. \end{cases} \]
De la primera ecuación se obtiene el valor de \(\alpha=1\). Al sustituir en la tercera y resolver, se sigue que \(\beta=2\). Por tanto, \(a=2+2=4\).
Bases de un espacio vectorial
Dependencia e independencia lineal
Dado un espacio vectorial \(V\) sobre el cuerpo \(K,\) los vectores \(\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{n}\) se dice que son linealmente dependientes si existe algún \(\mathbf{v}_{i}\)que es combinación lineal del resto. En otro caso, se dice que son linealmente independientes. Equivalentemente, \(\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{n}\) son linealmente dependientes si existen \(a_{1},\dots,a_{n} \in K\), no todos nulos, tales que
\[ a_{1}\mathbf{v}_{1} + \dots + a_{n}\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}\mathbf{.} \]
O lo que es lo mismo, \(\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{n}\) son linealmente independientes si \(a_{1}\mathbf{v}_{1} + \dots + a_{n}\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}\) sólo se cumple cuando \(a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 0\).
Ejemplo 7 El conjunto \(\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} \subset \mathbb{R}^{3}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes. Si no lo fuese, el sistema lineal de ecuaciones
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
tendría solución distinta de \(x = y = z = 0,\) pero esto es imposible, pues el sistema es compatible determinado, y la única solución es por tanto \(x = y = z = 0,\) por ser el rango de la matriz de coeficientes tres.
Importante
Nótese que el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada en el sistema de ecuaciones anterior siempre es el mismo, y el número de incógnitas es el número de vectores del que partimos.
Un razonamiento análogo al visto en el ejemplo muestra que \(S = \{\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{m}\} \subseteq K^{n}\) es un conjunto de vectores linealmente independiente si y sólo si la matriz cuyas columnas (o filas) son los vectores de \(S\) tiene rango exactamente \(m.\) En particular, si son linealmente independientes, entonces \(m \leq n.\)
Propiedades elementales
\(S\) es un conjunto de vectores linealmente dependientes si y sólo si existe \(\mathbf{v} \in S\) tal que \(\mathbf{v} \in \langle S\backslash\{\mathbf{v}\}\rangle.\)
Si \(\mathbf{0} \in S,\) entonces \(S\) es un conjunto de vectores linealmente dependientes.
Si en un conjunto de vectores linealmente dependientes, cambiamos un vector por una combinación lineal (no nula) de los demás, el conjunto sigue siendo linealmente dependiente.
Si \(S\) es un conjunto de vectores linealmente dependientes, entonces para todo \(\mathbf{v} \in V,\) \(S \cup \{\mathbf{v}\}\) también es un conjunto de vectores linealmente dependientes.
Si \(S,\) con más de dos elementos, es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces para todo \(v \in S,\) el conjunto \(S\backslash\{\mathbf{v}\}\) también es un conjunto de vectores linealmente independientes.
Base y dimensión de un espacio vectorial
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre un cuerpo \(K\). Una base de \(V\) es un subconjunto \(B\) de vectores linealmente independientes de \(V\) tal que \(V = \langle B\rangle.\)
De la definición (\(B\) es sistema generador y sus vectores son linealmente independientes), se tiene que si \(B = \{\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{n}\}\) es una base de \(V,\) entonces para todo vector \(\mathbf{v} \in V,\) existen \(a_{1},\dots,a_{n} \in K\) únicos tales que \(\mathbf{v} = a_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + a_{n}\mathbf{v}_{n}.\) A la \(n\)-upla \(\left( a_{1},\dots,a_{n} \right)\) se le llama coordenadas del vector \(\mathbf{v}\) respecto de la base \(B.\) Escribiremos \(\mathbf{v} \equiv ( a_{1},\dots,a_{n} )_{B}\) para indicar que \(\left( a_{1},\dots,a_{n} \right)\) son las coordenadas de \(\mathbf{v}\) respecto de la base \(B.\)
Todo espacio vectorial tiene al menos una base. Además, todas sus bases tienen el mismo cardinal. Al cardinal de una base de \(V\) lo denotamos por \(\dim(V),\) y nos referiremos a él como la dimensión de \(V.\)
Ejemplo 8 Tres vectores libres que no tengan representantes en un mismo plano, forman siempre una base del espacio vectorial de los vectores libres en el espacio tridimensional.
Ejemplo 9 Si \(K\) es un cuerpo, \(\dim\left( K^{n} \right) = n\) y \(\dim( \mathcal{M}_{m \times n}(K) ) = nm\).
Ejemplo 10 En particular, una base de \(\mathbb{R}^{n}\) es la llamada base canónica formada por las \(n\)-uplas \(\mathbf{e}_{1} = (1,0,\ldots,\ 0)\), \(\mathbf{e}_{2} = (0,1,\ldots,\ 0),\) … , \(\mathbf{e}_{n} = (0,\ldots,\ 0,1)\).
Una base de \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R} \right)\) está formada por los vectores:
\(\mathbf{e}_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{e}_{12} =\) \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{e}_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{e}_{22} =\) \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\)
Nótese que son vectores linealmente independientes,
\[\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = {a_{11}\mathbf{e}}_{11} + a_{12} \mathbf{e}_{12} + a_{21} \mathbf{e}_{21} + a_{22}\mathbf{e}_{22} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \]
equivale a
\[ a_{11} = a_{12} = a_{21} = a_{22} = 0 \]
Y que toda matriz \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) puede expresarse como combinación lineal de dichos vectores:
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = {a\mathbf{e}}_{11} + b \mathbf{e}_{12} + c \mathbf{e}_{21} + d\mathbf{e}_{22}. \]
Propiedades
Ampliación de la base. Si \(\dim(V) = n\) y \(\{\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{m}\}\) es un conjunto de vectores linealmente independientes de \(V,\) entonces \(m \leq n.\) Además existen \(\mathbf{v}_{m + 1},\dots,\mathbf{v}_{n} \in V,\) de forma que \(\{\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{m},\mathbf{v}_{m + 1},\dots,\mathbf{v}_{n}\}\) es una base de \(V.\)
Reducción de la base. Si \(\dim(V) = n\) y \(S = \{\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{m}\}\) es un sistema de generadores de \(V,\) entonces \(m \geq n.\) Además existen \(\mathbf{v}_{i_{1}},\dots,\mathbf{v}_{i_{n}} \in S,\) de forma que \(\{\mathbf{v}_{i_{1}},\dots,\mathbf{v}_{i_{n}}\}\) es una base de \(V.\)
Ejemplo 11 Considera los siguientes conjuntos de vectores de \(\mathbb{R}^{3}\).
\[S = \{(1,0,0),\ (2,3,0)\},\]
\[S^{'} = \{(1,0,0),\ (2,3,0),\ (4,5,6)\},\]
\[S^{''} = \{(1,0,0),\ (2,3,0),\ (4,5,6),\ (7,8,9)\}.\]
El primer conjunto es linealmente independiente pero no genera \(\mathbb{R}^{3}\) (observa que la dimensión de \(\mathbb{R}^{3}\) es 3).
El segundo es una base de \(\mathbb{R}^{3}\) y el tercero, aunque genera \(\mathbb{R}^{3}\) no es linealmente independiente.
Ejemplo 12 Los vectores \((0,1),\) \((1, - 1)\) son linealmente independientes en \(\mathbb{R}^{2},\) y por tanto \(B = \{(0,1),(1, - 1)\}\) es una base de \(\mathbb{R}^{2}\) (pues la dimensión de \(\mathbb{R}^{2}\) es 2).
Para calcular las coordenadas de un vector de \(\mathbb{R}^{2}\) en dicha base, por ejemplo, \((5,1)\), debemos obtener los escalares \(x,y\) en \(\mathbb{R}\) tales que \(x(0,1) + y(1, - 1) = (5,1).\) Esto nos lleva a resolver el sistema de ecuaciones (cuya matriz de coeficientes tiene por columnas los vectores de la base).
\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
La solución a este sistema es \(x = 6,\) \(y = 5,\) que son las coordenadas de \((5,1)\) respecto de la base \(B.\)
Ejercicio 3 Demuestra que \(\{(1,1),(-1,1)\}\) es una base de \(\mathbb{R}^{2}.\) Encuentra las coordenadas de \((2,3)\) respecto de dicha base.
Por lo que hemos visto anteriormente, para demostrar que \(\{(1,1),(-1,1)\}\) es una base de \(\mathbb{R}^{2},\) basta con comprobar que los vectores son linealmente independientes, y para ello que el rango de la matriz cuyas columnas son esos vectores es dos. De ser así, para encontrar las coordenadas de \((2,3)\) respecto de dicha base, basta con resolver el sistema de ecuaciones (en forma matricial)
\[ \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]
El rango de la matriz de coeficientes es dos, por lo que los vectores son linealmente independientes y forman una base de \(\mathbb{R}^{2}.\) Eso hace además que el sistema sea compatible determinado, y la única solución es \(x = \frac{5}{2},\) \(y = \frac{1}{2}.\) Luego las coordenadas de \((2,3)\) respecto de la base \(\{(1,1),(-1,1)\}\) son \(\left( \frac{5}{2},\frac{1}{2} \right).\)
Ejercicio 4 Prueba que \(U=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \colon x+2y+3z=0\}\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^3\) y determina una base de \(U\).
Observemos que \(U\) viene descrito por la ecuación de un plano en el espacio tridimensional. Para demostrar que \(U\) es un subespacio de \(\mathbb{R}^3\) basta tomar dos vectores \(\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\), \(\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\) en \(U\) y escalares \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) y probar que \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} \in U\).
Puesto que \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}=(\alpha u_1+\beta v_1,\alpha u_2+\beta v_2, \alpha u_3+\beta v_3)\), y \(\mathbf{u}\mathbf{v}\in U\), es claro que \((\alpha u_1+\beta v_1)+2(\alpha u_2+\beta v_2)+3(\alpha u_3+\beta v_3)= \alpha ( u_1+2u_2+3u_3) +\beta (v_1+2v_2+3v_3)=0\), luego \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} \in U\).
Ahora se trata de encontrar una base para \(U\). Observamos que todo vector de \(U\), viene determinado en función de dos parámetros \(\lambda\), \(\mu\) como \((-2\lambda-3\mu, \lambda, \mu)\). Entonces cada vector del subespacio es de la forma: \((-2\lambda-3\mu, \lambda, \mu)=\lambda (-2,1,0)+\mu(-3,0,1)\), con \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\).
Dado que los vectores \((-2,1,0)\) y \((-3,0,1)\) son linealmente independendientes y todo vector de \(U\) se expresa como su combinación lineal, el conjunto \(\{(-2,1,0), (-3,0,1)\}\) es una base para \(U\).
Ejercicio 5 Demuestra que \(U=\{M\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\colon M^t=-M\}\), donde \(M^t\) denota la matriz transpuesta de \(M\), es un subespacio vectorial de \(\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\). Determina su dimensión.
Para demostrar que \(U\) es un subespacio vectorial de \(\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\) basta tomar dos vectores \(M\) y \(N\) en \(U\) y escalares \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) y probar que \(\alpha M+\beta N \in U\). Teniendo en cuenta la definición de las operaciones de suma de matrices y producto por un escalar, así como de la transposición de matrices, se tiene que \((\alpha M+\beta N) ^t=\alpha M^t +\beta N^t\). Puesto que \(M, N\in U\), \(M^t =-M\), \(N^t =-N\), de modo que \((\alpha M+\beta N) ^t=\alpha M^t +\beta N^t=-\alpha M-\beta N=-(\alpha M+\beta N)\in U.\)
Para determinar su dimensión, observemos que \(M=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\in U\) si y sólo si \(M^t=-M\), lo que equivale a \[ \begin{pmatrix} a&c\\b&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -a&-b\\-c&-d\end{pmatrix}. \]
De aquí se deduce que: \(a=d=0, c=-b\). Por tanto, toda matriz de \(U\) es de la forma \(\begin{pmatrix} 0&b\\-b&0\end{pmatrix}\), con \(b\in\mathbb{R}\). Luego, \(M\) está generado por \(\left\lbrace \begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatrix}\right\rbrace\) y su dimensión es 1.
Ejercicio 6 Sea \(V\) un espacio vectorial sobre un cuerpo \(K\), y sean \(U\) y \(W\) dos subespacios vectoriales de \(V\). Demuestra que \(U\cap W\) es un subespacio vectorial de \(V\).
Para demostrar que \(U\cap W\) es un subespacio vectorial de \(V\), basta tomar dos vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) en \(U\cap W\) y escalares \(\alpha, \beta \in K\) y probar que \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} \in U\cap W\).
Puesto que \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in U\cap W\), entonces \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in U\) y \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in W\). Dado que \(U\) y \(W\) son subespacios vectoriales de \(V\), \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} \in U\) y \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} \in W\). Por tanto, \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} \in U\cap W.\)
Ejercicio 7 Sea \(V\) un espacio vectorial sobre un cuerpo \(K\), y sean \(U\) y \(W\) dos subespacios vectoriales de \(V\). Demuestra que \[ U+W = \{ \mathbf{u}+\mathbf{w} \colon \mathbf{u}\in U, \mathbf{w}\in W \} \]
es un subespacio vectorial de \(V\).
Para demostrar que \(U+W\) es un subespacio vectorial de \(V\), basta tomar dos vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) en \(U+W\) y escalares \(\alpha, \beta \in K\) y probar que \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} \in U+W\).
Por ser \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in U+W\), existen \(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\in U\) y \(\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}\in W\) tales que \(\mathbf{u}=\mathbf{u}_{1}+\mathbf{w}_{1}\) y \(\mathbf{v}=\mathbf{u}_{2}+\mathbf{w}_{2}\). Dado que \(U\) y \(W\) son subespacios vectoriales de \(V\), \(\alpha\mathbf{u}_{1}+\beta\mathbf{u}_{2} \in U\) y \(\alpha\mathbf{w}_{1}+\beta\mathbf{w}_{2} \in W\). Por tanto, \(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v} = \alpha\mathbf{u}_{1}+\beta\mathbf{u}_{2} + \alpha\mathbf{w}_{1}+\beta\mathbf{w}_{2}\in U+W.\)
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