La idea de conjunto es una de las más significativas en Matemáticas. La mayor parte de los conceptos matemáticos están construidos a partir de conjuntos.
Podríamos decir de forma informal que un conjunto es simplemente una colección de objetos a los que llamaremos elementos del conjunto. Esta definición nos bastará para los contenidos de este curso, pero desde el punto de vista matemático es imprecisa y da lugar rápidamente a paradojas. Desde comienzos del siglo XX esta definición dejó de utilizarse por los problemas que acarrea. Por desgracia, dar una definición precisa está bastante lejos de los objetivos de este guión.
Cuando \(x\) sea un elemento de un conjunto \(A\), escribiremos \(x\in A\), que se lee “\(x\) pertenece a \(A\)”.
Diremos que un conjunto \(A\) es subconjunto del conjunto \(B\), y lo denotaremos por \(A\subseteq B\), si todo elemento de \(A\) pertenece a \(B\).
Un conjunto \(A\) es igual que otro conjunto \(B\) si tienen los mismos elementos, a saber, si \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\). Cuando esto ocurre, escribiremos \(A=B\).
Admitiremos la existencia de un conjunto sin elementos, al que denotemos por \(\emptyset\) y llamaremos conjunto vacío. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos.
La intersección de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado por los elementos comunes de \(A\) y de \(B\), y lo denotamos así \[A \cap B=\{ x : x\in A,\ x\in B\}.\] Por ejemplo, \(\{1,2,3\}\cap\{0,3,4\}=\{3\}\).
La unión de \(A\) y \(B\) es el conjunto formado al tomar todos los elementos de \(A\) y los de \(B\). \[A\cup B=\{x : x\in A \text{ o } x\in B\}.\] Por ejemplo, \(\{1,2,3\}\cup\{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}\) (los elementos que aparecen en ambos conjuntos no tienen que escribirse dos veces; en los conjuntos no hay elementos repetidos).
La diferencia de \(A\) y \(B\) es el conjunto que tiene por elementos los elementos de \(A\) que no están en \(B\). \[A\setminus B=\{x\in A : x\not\in B\}\](siempre que tachemos un símbolo, estamos indicando que no se cumple la condición sin tachar; así \(x\not \in B\) significa que \(x\) no pertenece a \(B\), \(A\not=B\) significa que \(A\) es distinto de \(B\), etcétera). Por ejemplo, \(\{1,2,3\}\setminus\{2,4,5\}=\{1,3\}\).
En algunos textos a la diferencia de \(A\) y \(B\) se le denota usando \(A-B\).
Si \(A\subseteq X\), el complementario de \(A\) en \(X\) es \(X \setminus A\). Si \(X\) se sobreentiende en el contexto, entonces a \(X\setminus A\) se denota por \(\overline{A}\) o \(A^c\). Claramente, \(\overline{\overline{A}}=A\).
Por ejemplo, el complemento de \(\{1,2\}\) en \(\{1,2,3,4\}\) es \(\{3,4\}\).
\(\mathcal P(A)=\{ X : X\subseteq A\}\) es el conjunto de partes de \(A\) o conjunto potencia de \(A\), que es a su vez un conjunto. Por ejemplo, \(\mathcal{P}(\{1,2\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\).
El producto cartesiano de \(A\) y \(B\) es el conjunto de parejas cuya primera componente está en \(A\) y la segunda en \(B\). Esto se escribe de la siguiente forma. \[A\times B=\{ (a,b) : a\in A \text{ y } b\in B\}.\]
Si en vez de dos conjuntos tenemos \(A_1,\ldots, A_n\), \[A_1\times \cdots \times A_n=\{ (a_1,\ldots, a_n) : a_1\in A_1,\ldots, a_n\in A_n\},\] y a los elementos de \(A_1\times \cdots \times A_n\) les llamaremos \(n\)-uplas.
Al conjunto \(A\times \stackrel{n}{\cdots} \times A\) lo denotaremos por \(A^n\), para \(n\) un entero positivo.
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que contiene. Usaremos \(\sharp A\) para denotar el cardinal del conjunto \(A\).
\(\sharp \mathcal P(A)=2^{\sharp A}\).
\(\sharp (A\times B)=\sharp A \cdot \sharp B\).
Sea \(A\) un conjunto. Una relación binaria en \(A\) es un subconjunto \(R\) de \(A\times A\). Cuando \((x,y)\in R\) escribimos \(x\ R\ y\) y decimos que \(x\) está relacionado (mediante \(R\)) con \(y\).
Una relación binaria \(R\) sobre un conjunto \(A\) es una relación de equivalencia si verifica las siguientes propiedades.
Para todo \(a\in A\), \(a\ R\ a\) (\(R\) es reflexiva).
Dados \(a, b\in A\), si \(a\ R\ b\), entonces \(b\ R\ a\) (\(R\) es simétrica).
Para cualesquiera \(a,b,c\in A\), si \(a\ R\ b\) y \(b\ R\ c\), entonces \(a\ R\ c\) (\(R\) es transitiva).
Si \(R\) es una relación de equivalencia sobre un conjunto \(A\), y \(a\) es un elemento de \(A\), entonces la clase de \(a\) es el conjunto de todos los elementos de \(A\) que están relacionados con \(a\), \[[a]=\{x\in A : x\ R\ a\}.\] Se define el conjunto cociente de \(A\) por \(R\) como el conjunto de todas las clases de equivalencia de elementos de \(A\), y se denota por \(A/R\). Así \[\frac{A}R=\{ [a] : a\in A\}.\]
Para una relación de equivalencia \(R\) en un conjunto \(A\) se tiene que
\(a\ R\ b\) si y sólo si \([a]=[b]\),
\(a\not{R}\ b\) si y sólo si \([a]\cap[b]=\emptyset\).
En el conjunto \(\mathbb Z=\{0,1,-1,2,-2,\ldots\}\) de los números enteros, definimos la siguiente relación de equivalencia. \[x\ R\ y \text{ si }x-y\text{ es múltiplo de } 5.\]
Demuestra que \(R\) es una relación de equivalencia.
Calcula \([2]\).
En el conjunto \({\mathcal P}(\{1,2,3\})\), definimos la siguiente relación binaria. \[A\sim B\text{ si }\#A=\#B.\]
Demuestra que \(\sim\) es una relación de equivalencia.
Calcula \([\{1,2\}]\).
Dado un conjunto \(X\), una partición de \(X\) es una familia de subconjuntos de \(X\), \(\{A_i\}_{i\in I}\) (\(=\{A_i : i\in I\}\)), de forma que
\(A_i\not=\emptyset\) para todo \(i\in I\),
\(A_i\cap A_j=\emptyset\) para cualesquiera \(i,j\in I\) con \(i\neq j\),
\(X=\bigcup_{i\in I} A_i\) (la unión de todos los elementos de la familia \(\{A_i\}_{i\in I}\)).
Se puede comprobar fácilmente que el hecho de ser \(R\) una relación de equivalencia sobre \(A\) hace que \(A/R\) sea una partición de \(A\).
Es más, si \(\{A_1,\ldots,A_n\}\) es una partición de \(A\), entonces \[R=(A_1\times A_1)\cup \cdots \cup(A_n\times A_n)\] es una relación de equivalencia sobre \(A\) (nótese que para \(a,b\in A\), \(a\ R\ b\) si y sólo si existe \(i\in\{1,\ldots,n\}\) tal que \(a,b\in A_i\)) y \[\frac{A}R=\{A_1,\ldots, A_n\}.\]
Una relación binaria \(\le\) sobre un conjunto \(A\) es una relación de orden si verifica las siguientes propiedades.
Para todo \(a\in A\), \(a\le a\) (reflexiva).
Dados \(a, b\in A\), si \(a\le b\) y \(b\le a\), entonces \(a=b\) (antisimétrica).
Para cualesquiera \(a,b,c\in A\), si \(a\le b\) y \(b\le c\), entonces \(a\le c\) (transitiva).
Ejemplos de orden son \(\le\) en \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) y \(\mathbb R\).
Si un conjunto \(A\) tiene una relación de orden \(\le\), al par \((A,\le)\) lo llamaremos conjunto ordenado.
En el conjunto de los números naturales \(\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}\) definimos la relación \(a\mid b\) si \(b\) es múltiplo de \(a\). Demuestra que \(\mid\) es una relación de orden.
Sea \(X\) un conjunto. Demuestra que \(\subseteq\) es una relación de orden en \(\mathcal P(X)\).
El conjunto de partes de \(\{1,2,3\}\) ordenado por inclusión se puede representar como sigue:
Un conjunto ordenado \((A,\le)\) es totalmente ordenado si para cada \(a,b\in A\), se tiene que \(a\le b\) o \(b\le a\).
En \(\mathbb N^n\) definimos la siguiente relación binaria \[(a_1,\ldots,a_n)\le_p (b_1,\ldots,b_n) \text{ si } a_1\le b_1,\ldots, a_n\le b_n.\] Demuestra que \(\le_p\) es una relación de orden (orden producto cartesiano), pero no es un orden total para \(n\ge 2\).
En \(\mathbb N^n\) definimos la siguiente relación binaria \((a_1,\ldots,a_n)\preceq_\mathrm{lex} (b_1,\ldots,b_n)\) si la primera coordenada no nula de \((a_1-b_1,\ldots, a_n-b_n)\in \mathbb Z^n\) es positiva (caso de que exista, es decir, puede ser que todas sean nulas). Demuestra que \(\preceq_\mathrm{lex}\) es un orden total.
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. Una aplicación \(f\) de \(A\) en \(B\), que denotaremos como \(f:A\to B\), es una correspondencia que a cada elemento de \(A\) le asocia un único elemento de \(B\) (de nuevo esta definición es algo imprecisa, pero suficiente para nuestro curso). Si \(a\in A\), al elemento que le asocia \(f\) en \(B\) lo denotamos por \(f(a)\), y se llama la imagen de \(a\) por \(f\). Los conjuntos \(A\) y \(B\) son el dominio y codominio de \(f\), respectivamente. Llamaremos conjunto imagen de \(f\) a \[{\rm Im}(f)=\{f(a) : a\in A\}.\]
Si \(f:A\to B\) es una aplicación, diremos que \(f\) es
inyectiva si \(f(a)=f(a')\) para \(a,a'\in A\), implica \(a=a'\);
sobreyectiva si \({\rm Im}(f)=B\) (para todo \(b\in B\), existe \(a\in A\) tal que \(f(a)=b\));
biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
Sean \(f:A\to B\) y \(g:B\to C\) dos aplicaciones. La aplicación composición de \(f\) y \(g\) (también conocida como \(f\) compuesta con \(g\)) es la aplicación \(g\circ f: A\to C\), definida como \((g\circ f)(a)=g(f(a))\). Para calcular la imagen de un elemento por la composición primero aplicamos \(f\) y luego \(g\).
Sean \(f:\mathbb Z\to \mathbb Z\), \(x\mapsto x^2\), y \(g:\mathbb Z\to \mathbb Q\), \(y\mapsto \frac{1}2(y+1)\). Calcula \(g\circ f\).
La composición de aplicaciones es asociativa (\(f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h\)) pero no es conmutativa (\(f\circ g\) no tiene por qué ser igual a \(g\circ f\)).
Sea \(A\) un conjunto. La aplicación identidad en \(A\) es la aplicación \(1_A: A\to A\) definida como \(1_A(a)=a\) para todo \(a\in A\).
Una aplicación \(f:A\to B\) es biyectiva si y sólo si existe una única aplicación \(g:B\to A\) tal que \(g\circ f=1_A\) y \(f\circ g=1_B\). Dicha aplicación diremos que es la inversa de \(f\) y la denotaremos por \(f^{-1}\).
Demuestra que la aplicación \(f:\mathbb Q\to \mathbb Q\), \(f(x)=\frac{1}3(2x+1)\) es biyectiva. Calcula \(f^{-1}\).
Esta página está basada en los apuntes de J.C. Rosales y P. A. García-Sánchez, Notas de de Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas Las representaciones gráficas se han realizado con JSXGraph y con viz.js. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.