Ecuaciones polinómicas

Ecuaciones y soluciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Una ecuación expresa una condición que debe cumplir una o varias cantidades desconocidas o incógnitas. En este epígrafe se estudian ecuaciones con una sola incógnita. Nos referimos a las expresiones situadas a uno y otro lado del signo \(=\) como primer miembro, la que se encuentra en primer lugar en el sentido habitual de lectura, y segundo miembro a la que aparece en segundo lugar. Aunque como se trata de una igualdad el orden de los miembros puede cambiarse y la ecuación sigue siendo la misma.

Una solución de una ecuación es cada número (en el conjunto que se considere admisible) que al ocupar la posición de la incógnita hace que la igualdad que expresa la ecuación ocurra. Resolver una ecuación es calcular todas sus soluciones. En el concepto de solución es muy importante el conjunto de números donde se permite que aparezca la solución. Por ejemplo, la ecuación \(2x=3\) no tiene ninguna solución en \(\mathbb{Z}\), puesto no hay ningún entero que al multiplicarlo por \(2\) dé \(3\). Sin embargo el número racional \(\frac{3}{2}\) verifica la ecuación, es decir es una solución en el conjunto \(\mathbb{Q}\).

En lo que sigue se consideran ecuaciones cuyos coeficientes y soluciones son números reales o, en algunos ejemplos, complejos.

Ecuaciones polinómicas de grado 1

Las ecuaciones polinómicas son aquellas que se pueden escribir de forma que el primer miembro sea un polinomio y el segundo sea \(0\).

La ecuación \(x^2+1=0\) es una ecuación polinómica de grado 2, puesto que ese es el grado del polinomio que aparece en el primer término.
La ecuación \(\frac{1}{1+x}=\frac{2}{x}\) no tiene la apariencia de una ecuación polinómica, pero puede transformarse en una que sí lo es.
Sin embargo, las ecuaciones \(2^x = 5\) y \(\mathrm{sen}(x)=\frac{1}{2}\) no son ecuaciones polinómicas.

Una ecuación polinómica de grado 1 tiene la forma \(ax+b=0\) con \(a\not = 0\) y puede resolverse utilizando las dos siguientes reglas:

Si en una igualdad se suma (o resta) en ambos miembros la misma cantidad, la igualdad resultante sigue siendo cierta.
Si en una igualdad ambos miembros se multiplican por un número que tenga inverso, la igualdad resultante sigue siendo cierta.

que permiten transformar una ecuación en otra equivalente, es decir, que tiene exactamente las mismas soluciones.

Usando la primera regla, la ecuación \(ax+b=0\) nos permite obtener la ecuación \(ax=-b\) sin más que restar en ambos miembros \(b\) y luego es suficiente dividir por \(a\) (que tiene inverso puesto que es \(a\not =0\)), para obtener \(x=-\dfrac{b}{a}\).

Exactamente las mismas reglas nos permiten transformar ecuaciones en otras de apariencia más sencilla. Tomemos la ecuación del ejemplo anterior

\[\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{2}{x}\]

si multiplicamos ambos miembros por \((1+x)\cdot x\) podemos eliminar los denominadores:

\[\require{cancel}\dfrac{\cancel{(1+x)}\cdot x}{\cancel{1+x}}=\dfrac{2\cdot (1+x)\cdot \cancel{x}}{\cancel{x}}\] y nos queda la ecuación

\[x=2(1+x)\] desarrollando el paréntesis y restando \(x\) en ambos miembros queda \[0=2+x, \mbox{ o bien } x+2=0\] que es una ecuación polinómica de grado 1 con solución \(x=-2\).

Ecuaciones polinómicas de segundo grado

Una ecuación polinómica de grado 2 con coeficientes en \(\mathbb{C}\) de la forma \[ax^2+bx+c=0\] se resuelve usando la fórmula

\[x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

(observemos que \(a\not =0\) puesto que la ecuación es de grado 2). El término \(d=b^2-4ac\) se llama discriminante y según su valor la ecuación tiene una única solución (cuando \(d=0\)) o dos soluciones distintas. Si la ecuación tiene coeficientes reales suele restringirse la búsqueda de soluciones al conjunto de números reales. En ese caso, si \(d<0\), su raíz cuadrada no es un número real, así que suele decirse:

Si \(d>0\) la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
Si \(d=0\) la ecuación tiene una raíz (o solución) doble.
Si \(d<0\) no tiene ninguna raíz real, sino dos soluciones complejas conjugadas.

Ejercicio

Resuelve las siguientes ecuaciones.

\(2x^2+5=0\).

\(x= \dfrac{0\pm\sqrt{-4\times 2\times 5}}{2\times 2}=\pm\dfrac{\sqrt{-10}}2\).
\(2x^2+x=0\).

\(x= 0,\ x=-\frac{1}2\).
\(3x^2+5x-2=0\).

\(x= -2,\ x=\dfrac{1}3\).
\(x^2 -5x=2\).

\(x= \dfrac{5\pm\sqrt{33}}{2}\).
\(x^2 -5x-6=0\).

\(x= 6,\ x= -1\).
\(2x^2 -x +1=0\).

\(x= \dfrac{1\pm\sqrt{-7}}{4}\).

Para ecuaciones polinómicas de mayor grado, aunque en algunos casos hay una fórmula general, no suele requerirse la memorización del método y en la práctica se usan programas que calculan las soluciones. En algunos casos particulares sí puede intentarse el cálculo, por ejemplo cuando puede factorizarse, usando el método de Ruffini para calcular alguna raíz, o cuando puede reducirse a una ecuación de segundo grado.

La ecuación \(x^4-9=0\) puede escribirse usando una de las identidades notables, como \((x^2-3)(x^2+3)=0\). Ahora puede descomponerse en resolver \(x^2-3=0\) o bien \(x^2+3=0\); La primera de ellas tiene como soluciones \(\pm \sqrt{3}\) mientras que la segunda no tiene raices reales (sus raices complejas son \(\pm\sqrt{3}i\)).
La ecuación \(x^3-6x^2+9x=0\) puede resolverse sacando factor común \(x\), con lo que obtenemos dos factores \(x(x^2-6x+9)=0\) así que una solución es \(x=0\) y la otra es \(x=3\) que es la raíz doble de \(x^2-6x+9=0\).
Para \(x^4-6x^2+9=0\) podemos usar la sustitución \(t=x^2\) y obtenemos una ecuación de grado 2: \(t^2-6t+9=0\) que tiene una raíz doble: \(t=3\); así que nos queda resolver \(x^2=3\) y obtenemos que hay dos soluciones dobles, \(x=\sqrt{3}\) y \(x=-\sqrt{3}\).

Ejercicio

Resuelve:

\(x^6+28x^3+27=0\).

Hacemos el cambio de variable \(y=x^3\) y resolvemos \(y^2+28y+27=0\). Esto nos da los valores \(y=-1\) y \(y=-27\). Por tanto \(x=-1\) y \(x=-3\) son soluciones de la ecuación original.
\(x^3-4x^2-7x-2=0\).

Probamos, usando Ruffini, con los divisores del término independiente de la ecuación: \(\pm 1\), \(\pm 2\).
Resulta que \(-1\) es solución de la ecuación y que \(x^3-4x^2-7x-2=(x^2 - 5x - 2)(x+1)\).
Si resolvemos \(x^2 - 5x - 2\) (ya lo hicimos arriba), obtenemos \(x= \frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\). Por tanto las soluciones son \(x= \frac{5\pm\sqrt{33}}{2}\) y \(x=-1\).
\(x+\dfrac{x^2}{2}= \dfrac{(x+2)^2}{2}\).

Restando ambos términos de la igualdad llegamos a \(x+2=0\), por lo que la solución es \(x=-2\).
\((3x+1)(x^2+x-2)=0\).

Por la expresión de la ecuación, las soluciones serán las de \(3x+1=0\) y \(x^2+x-2=0\).

De la primera ecuación, deducimos que \(x=-\frac{1}3\).

De la segunda \(x=1\) y \(x=-2\).
\(\sqrt{x+2} +3= x-1\).

Dejamos la raíz en uno de los miembros de la igualdad para poder elevar al cuadrado y eliminarla. Así llegamos a \(\sqrt{x+2}=x-4\).

Por tanto, \(x+2=(x-4)^2=x^2-8x+16\) y en consecuencia \(x^2-9x+14=0\).

Las soluciones son \(x=2\) y \(x=7\). ¿Estás seguro? Es fácil comprobar que \(x=2\) no es solución. Cuidado al elevar al cuadrado que podemos estar añadiendo soluciones a la ecuación original.
\(\dfrac{1}{x^2}-2= \dfrac{3-x}{3x^2}\).

Descartamos la solución \(x=0\), porque al estar dividiendo por \(x^{2}\) en la ecuación original dicha solución no es válidad, y multiplicamos en ambos lados de la igualdad por \(3x^2\). Obtenemos así \(3-6x^2=3-x\), que equivale a \(6x^2-x=0\).
Las soluciones de esta última ecuación \(x=0\) y \(x=-\frac{1}6\), pero \(x=0\) lo habíamos descartado inicialmente, así que nos queda como única solución \(x=-\frac{1}6\).

Cuestionario de ecuaciones

Pregunta 1

Consideramos la ecuación \((x-a)\, (x-b)\, (x-c)=0\), con \( a, b, c \) constantes cualesquiera.

Las soluciones son \(x=a\), \(x=b\) y \(x=c\).
Esta ecuación no tiene solución porque no sabemos los valores de \(a, b\) y \(c\).
Tiene infinitas soluciones porque la ecuación viene definida por un polinomio de grado 3.

Pregunta 2

Consideramos la ecuación \(a^3\, x +6\, a-a\, x=12\, a+a\, x\), siendo \( a \) una constante cualquiera.

Si \(a=0\) la ecuación \(a^3\, x +6\, a-a\, x=12\, a+a\, x\) tiene infinitas soluciones, y además cualquier valor de \(x\) es solución de la ecuación.
La única solución es \(x=0\) independiente del valor tenga la constante \(a\)
La ecuación no tiene solución independiente del valor tenga la constante \(a\)

Pregunta 3

Consideramos la ecuación \(a^3\, x +6\, a-a\, x=12\, a+a\, x\), siendo \( a \) una constante cualquiera.

Si \(a =\sqrt{2}\) la ecuación tiene infinitas soluciones.
Si \(a=\sqrt{2}\) la ecuación tiene un única solución.
Si \(a=\sqrt{2}\) la ecuación no tiene solución.

Pregunta 4

Consideramos la ecuación \(a^3\, x +6\, a-a\, x=12\, a+a\, x\), siendo \( a \) una constante cualquiera.

Si \(a=23 \) la ecuación no tiene solución.
Si \(a\) es distinta de cero y de \(\sqrt{2}\) la ecuación tiene una única solución que es \(x=\frac{6}{a^2-2}\).
Si \(a=2\) la ecuación no tiene solución.

Pregunta 5

Resuelve la ecuación \(8 \, x+12-2\,x=24+ 2\,x\).

Esta página está basada en las transparencias de Javier Lobillo y Evangelina Santos Aláez para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con JSXGraph. El maquetado de la página ha sido realizado por Pedro A. García Sánchez.