Para multiplicar dos fracciones se multiplican ambos numeradores y ambos denominadores: \[\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}.\]

La fracción inversa de una dada es la que tiene por numerador al denominador de la primera y viceversa. La fracción inversa de \(\dfrac{a}{b}\) es \(\dfrac{b}{a}\), es decir, la fracción inversa es aquella que al multiplicarla por la dada nos da como resultado el número 1.

\[\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{b}{a}= \dfrac{a\cdot b}{b\cdot a}=\dfrac{\cancel{a}\cdot \cancel{b}\cdot 1}{\cancel{a}\cdot \cancel{b}\cdot 1}=\dfrac{1}{1}=1.\]

Observemos que el número \(0=\dfrac{0}{1}\) no tiene fracción inversa puesto que \(0\) no es admitido como denominador.

Para dividir dos fracciones se puede usar la regla de multiplicar en cruz o sustituir la división por el producto con la fracción inversa del divisor, es decir:

\[\dfrac{a}{b}\colon \dfrac{c}{d}= \dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}= \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b \cdot c}.\]

Operaciones con fracciones, uso de paréntesis y signos

Ahora ejercitaremos las operaciones recordando que el producto tiene prioridad sobre la suma pero que esta prioridad puede cambiarse mediante el uso de paréntesis. También prestaremos atención a los signos que aparecen.

Efectuaremos las operaciones

1. \(\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\)

2. \(\dfrac{2}{5}\cdot \left( \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\right)\)

y comprobaremos que los resultados son diferentes. En la primera se efectúa en primer lugar el producto y después la resta: \[\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}=\dfrac{2\cdot 1}{5\cdot 3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{4}= \dfrac{8-15}{60}=-\dfrac{7}{60}.\] En la segunda primero se efectúa la operación entre paréntesis y después el producto: \[\dfrac{2}{5}\cdot \left( \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{2}{5}\cdot \left( \dfrac{4-3}{12}\right)=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{12}=\dfrac{2}{60}=\dfrac{1}{30}.\]

Los signos se manejan como en los números enteros, teniendo en cuenta que siempre podemos elegir que el signo del denominador sea positivo sin más multiplicar, si es necesario, arriba y abajo por \(-1\). \[\left( -\dfrac{1}{3}\right)\colon \left( \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{2}\right)= \left( -\dfrac{1}{3}\right)\colon \left( \dfrac{4-5}{10}\right) =\left( -\dfrac{1}{3}\right)\colon \left( -\dfrac{1}{10}\right)= \left( -\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(- \dfrac{10}{1}\right)= \dfrac{10}{3}.\]

El concepto inicial de potencia es una forma de denotar a un producto en el que todos los factores son idénticos, por ejemplo si queremos expresar el producto \(2\times 2 \times 2 \times 2 \times 2\) usaremos la expresión \(2^5\), es decir, se escribe el factor que se repite, al que llamaremos base de la potencia, en este caso \(2\), y se le añade como superíndice el número de veces que aparece en el producto, a lo que llamaremos exponente, en este caso \(5\). En general escribimos

\[\overbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}^{\mbox{n veces}}=a^n.\]

Como convenio, para cualquier número \(a\) distinto de cero, \(a^0=1\). Observemos que si la base es un número negativo es necesario usar paréntesis para indicar su potencia, por ejemplo \((-2)^4=16\) mientras que \(-2^4=-16\).

1. \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\).

2. \((a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n\).

3. \((a^n)^m=a^{n\cdot m}\).

4. \(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\).

5. \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).

6. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\).

Calculamos \[\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{-2}= \dfrac{1}{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^{2}}= \dfrac{1}{ \dfrac{(-1)^2}{2^2}}= 1\cdot \dfrac{2^2}{1}=2^2.\]

Usamos las propiedades anteriores y la simplificación de fracciones para obtener una expresión simplificada de una dada: \[a^2\cdot b^3\cdot \left(\dfrac{1}{ab^2}\right)^2= a^2\cdot b^3\cdot \dfrac{1^2}{(ab^2)^2}= \dfrac{\cancel{a^2}\cdot b^3}{\cancel{a^2}\cdot b^4}= b^{3-4}=b^{-1}= \dfrac{1}{b}.\] Podemos observar que la cancelación de \(a^2\) también podría realizarse haciendo uso de las propiedades de las potencias, puesto que \[\dfrac{a^2}{a^2}=a^{2-2}=a^0 = 1.\]

"Elevar a" no es asociativo. No tiene sentido escribir \({2^3}^4\), pues no es lo mismo \(2^{(3^4)}\) que \( (2^3)^4\) (el primero vale \(2417851639229258349412352\) y el segundo \(4096\)).

Definimos la raiz n-ésima de un número no negativo \(a\) como aquella cantidad no negativa \(x\) tal que \(x^n=a\), y la denotaremos por \(\sqrt[n]{a}\): \[\sqrt[n]{a}=x \text{ implica que } x^n=a.\]

Estamos escogiendo raíces no negativas, si quitamos esa restricción, puede que exista más de una. Por ejemplo, existen dos raíces cuadradas de \(1\), pues tanto \((-1)^2\) como \(1^2\) valen \(1\). También estamos considerando raíces de números no negativos. Como el cuadrado de un número real es siempre no negativo, no podemos encontrar una raíz real cuadrada de un número negativo. Sin embargo, sí podemos encontrar una cúbica. Por ejemplo, \((-1)^3=-1\), por lo que \(-1\) es una raíz cúbica de \(-1\).

La expresión de los radicales también puede realizarse mediante potencias, si \(x=\sqrt[n]{a}\), entonces \(x=a^{\frac{1}{n}}\) puesto que \[x^n= (a^{\frac{1}{n}})^n= a^{\frac{n}{n}}=a^1 = a.\]

La expresión de radicales como potencias con exponentes fraccionarios tiene las mismas propiedades, usando las operaciones correspondientes con dichos números.

Podemos escribir en forma de potencia la siguiente expresión

\[\left[ \sqrt[12]{a^4b^8}\right]^3=\left[ (a^4 b^8)^{\frac{1}{12}} \right]^3 = \left[ a^{\frac{4}{12}}b^{\frac{8}{12}} \right]^3 =a^{\frac{4\cdot 3}{12}}b^{\frac{8\cdot 3}{12}} = ab^2.\]