Multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios se basa en la consideración de la variable como un “número indeterminado”, por lo que está sujeta a las reglas aritméticas numéricas. La regla que se emplea es la del producto de potencias de igual base, es decir, \(x^i x^j = x^{i+j}\). De esta forma la multiplicación se realiza usando la propiedad distributiva y el producto de cada monomio. Veamos un ejemplo que puede ser suficientemente significativo.

Multipliquemos \(3x^3 + 5x^2 - 3x + 1\) por \(x^4 + 7 x - 2\), lo que hacemos multiplicando el primero por cada uno de los términos del segundo, así

\[\begin{split} -2(3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) &= -6 x^3 - 10 x^2 + 6 x - 2,\\ 7x (3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) &= 21 x^4 + 35 x^3 - 21 x^2 + 7 x, \\ x^4 (3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) &= 3x^7 + 5 x^6 - 3 x^5 + x^4, \end{split}\]

y sumando los resultados parciales obtenemos el resultado,

\[\begin{gathered} (3x^3 + 5x^2 - 3x + 1) (x^4 + 7 x - 2) \\ = (3x^7 + 5 x^6 - 3 x^5 + x^4) + (21 x^4 + 35 x^3 - 21 x^2 + 7 x) + (-6 x^3 - 10 x^2 + 6 x - 2) \\ = 3x^7 + 5 x^6 - 3 x^5 + 22 x^4 + 29 x^3 -31 x^2 + 13 x -2.\end{gathered}\]

Podemos describir la multiplicación mediante el siguiente diagrama:

\[\begin{array}{rrrrrrrr} & & & & 3x^3 & + 5x^2 & - 3x & + 1 \\ \times & & & & & x^4 & + 7 x & - 2 \\ \hline & & & & -6 x^3 & - 10 x^2 & + 6 x & - 2 \\ & & & 21 x^4 & + 35 x^3 & - 21 x^2 & + 7 x & \\ 3x^7 & + 5 x^6 & - 3 x^5 & + x^4 & & & & \\ \hline 3x^7 & + 5 x^6 & - 3 x^5 & + 22 x^4 & + 29 x^3 & -31 x^2 & + 13 x & -2 \end{array}\]

La división de polinomios con coeficientes racionales (o reales) se basa en el siguiente resultado.

Dados polinomios \(f,g\) con \(g \neq 0\) existen polinomios \(q\) y \(r\) tales que \(f = qg + r\) y \(\operatorname{grado}(r) < \operatorname{grado}(g)\).

La división es un proceso iterativo. Supongamos que el término líder de \(f\) es \(a_n x^n\), el término líder de \(g\) es \(b_m x^m\) y \(n \geq m\). Entonces el término líder de \(\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} g\) es también \(a_n x^n\), luego el grado de \(f_1 = f -\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} g\) es menor que \(n\). De esta forma tenemos que \(\frac{a_n}{b_m} x^{n-m}\) es parte del cociente, para completar el cociente y conocer el resto debemos dividir \(f_1\) entre \(g\). Veámoslo en un ejemplo.

Vamos a dividir \(f=3x^4 + 3 x^2 - \frac{2}{3} x + 1\) entre \(g=2x^2 + x\). Debemos multiplicar el divisor por \(\frac{3}{2} x^2\) para igualar el término líder de \(f\), con lo cual debemos calcular \(f - \frac{3}{2} x^2 (2x^2 + x)= -\frac{3}{2} x^3 + 3 x^2 - \frac{2}{3} x + 1\). Gráficamente,

Con este nuevo dividendo necesitamos multiplicar el divisor por \(-\frac{3}{4}x\) con el fin de igualar el término líder. De forma análoga al anterior tenemos que el nuevo dividendo es \(\frac{15}{4}x^2-\frac{2}{3}x + 1\), o gráficamente

Finalmente necesitamos multiplicar el divisor \(g\) por \(\frac{15}{8}\) para igualar los términos líderes, lo que nos lleva a completar el cociente y a llegar al resto:

Es decir, el cociente es \(\frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{15}{8}\) y el resto es \(-\frac{61}{24}x + 1\):

A continuación mostramos otro ejemplo:

Puedes hacer más ejemplos en esta página.

Este método es especial para dividir un polinomio \(a_0 + a_1 x + \dots a_n x^n\) entre un binomio de la forma \(x-r\). En este caso el cociente tendrá grado \(n-1\) y el resto grado \(0\) o \(-\infty\), es decir,

\[a_0 + a_1 x + \dots a_n x^n = (b_0 + b_1 x + \dots + b_{n-1} x^{n-1}) (x-r) + s.\]

Para realizar la división debemos calcular \(s, b_0, b_1, \dots, b_{n-1}\). Para calcularlos vamos a desarrollar la multiplicación:

\[\begin{split} a_0 + a_1 x + \dots a_n x^n &= (b_0 + b_1 x + \dots + b_{n-1} x^{n-1}) (x-r) + s \\ &= b_0 x + b_1 x^2 + \dots b_{n-1} x^n - r b_0 - r b_1 x - \dots - r b_{n-1} x^{n-1} + s \\ &= (s - r b_0) + (b_0 - r b_1) x + \dots (b_{n-2} - r b_{n-1}) x^{n-1} + b_{n-1} x^n. \end{split}\]

Esto nos da una regla recursiva:

\[\begin{aligned} b_{n-1} &= a_n \\ b_{n-2} &= a_{n-1} + r b_{n-1} \\ b_{n-3} &= a_{n-2} + r b_{n-2} \\ &\quad \vdots \\ b_1 &= a_2 + r b_2 \\ b_0 &= a_1 + r b_1 \\ s &= a_0 + r b_0.\end{aligned}\]

Este método se recuerda mejor mediante una disposición gráfica que vamos a explicar con un ejemplo

Vamos a dividir \(2x^4 - \frac{1}{3} x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 1\) entre \(x-\frac{2}{3}\). Para ello escribimos los coeficientes según el siguiente gráfico:

El coeficiente líder del cociente coincide con el coeficiente líder del dividendo:

Multiplicamos \(2\) por \(\frac{2}{3}\)

y lo sumamos a \(-\frac{1}{3}\)

Repetimos el proceso hasta calcular todos los coeficientes del cociente,

Finalmente calculamos el resto con el mismo procedimiento,

Por tanto el cociente es \(2x^3 + x^2 + \frac{13}{6}x + \frac{13}{9}\) y el resto \(-\frac{1}{27}\).

Algunos ejemplos más.

1. \(-\frac{1}{2}x^3 + \frac{5}{3} x^2 + \frac{3}{7}x^2 + \frac{3}{4}\) entre \(x+2\)

   

2. \(x^5 - 3x^4 + 2 x^2 - 3 x - 9\) entre \(x-3\)

   

3. \(x^4 - 4 x^2 +4\) entre \(x+1\)

   

Dado un polinomio \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ \dots +a_nx^n\), una raiz es un número \(\alpha\) tal que al evaluar el polinomio en \(\alpha\) (sustituir la indeterminada por dicho valor) el resultado es \(0\), es decir, \(p(\alpha)=0\).

El siguiente resultado es una aplicación del algoritmo de la división de polinomios, en efecto, la división de \(p(x)\) entre \(x-\alpha\) nos proporciona la fórmula \[p(x)=q(x)\cdot (x-\alpha) + r\] donde \(r\) es un polinomio de grado menor que 1, es decir, es un número.

Para un polinomio \(p(x)\) son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. \(\alpha\) es una raiz de \(p\),

2. \(\alpha\) es una solución de la ecuación \(p(x)=0\),

3. \(p(x)=q(x)(x-\alpha)\).

A los divisores de la forma \(x-\alpha\) de un polinomio se les denomina factores lineales. Es de gran utilidad obtener la descomposición en factores lineales de un polinomio, o lo que es lo mismo obtener todas las soluciones de una ecuación polinómica. La resolución de algunos tipos de estas ecuaciones es tratado en el apartado ”Ecuaciones polinómicas” de la siguiente sesión, sin embargo, es interesante el siguiente método para calcular las posibles raices enteras de un polinomio con coeficientes también enteros.

Supongamos que tenemos un polinomio de grado \(n\) con coeficientes enteros, digamos

\[a_nx^n +\dots +a_1x+a_0\]

si tuviese una raiz entera, \(\alpha\), entonces el polinomio sería exactamente el producto de otro polinomio de grado \(n-1\), también con coeficientes enteros, y el factor lineal correspondiente, es decir:

\[a_nx^n +\dots +a_1x+a_0=(x-\alpha)\cdot(a_nx^{n-1}+\dots +b_1x+b_0)\]

El hecho de que los coeficientes del cociente son enteros puede deducirse comprobando que en el método de Ruffini todas las operaciones son sumas y productos de números enteros. Ahora observamos que los términos de grado 0 en ambos miembros de la igualdad deben ser iguales

\[a_0=\alpha \cdot b_0\]

y así la raiz \(\alpha\) es un divisor del término independiente, y como un número entero distinto de cero tiene una cantidad finita de divisores, puede explorarse el conjunto completo de divisores en busca de las posibles raices.

Para encontrar todas las raices enteras del polinomio \[x^4-7x^2+7x-2\] observamos que como el término independiente es \(-2\), sus posibles divisores son \(1,-1,2,-2\) así que probamos si alguno de ellos es raiz. Esto puede hacerse realizando la división por Ruffini o simplemente evaluando el polinomio (es más eficiente Ruffini para evaluar)\[\begin{array}{l} p(1)=1^4-7\cdot 1^2+7\cdot 1-2=-1\\ p(-1)=(-1)^4-7\cdot (-1)^2+7\cdot (-1) -2=1-7-7-2=-15\\ p(2)=2^4-7\cdot 2^2+7\cdot 2-2= 16-28+14-2=0\\ p(-2)=(-2)^4-7\cdot (-2)^2+7\cdot (-2)-2= 16-28-14-2=-28\\ \end{array}\] Así que \(2\) es raiz del polinomio, para factorizar dividimos por \(x-2\):

El cociente es \(x^3+2x^2-3x+1\), que solo podría tener como raices enteras a \(1\) y \(-1\), y ya hemos comprobado que no lo son del polinomio dado, y por tanto tampoco del cociente.

Dado un polinomio con coeficientes racionales sus raices son las mismas que las de un polinomio con coeficientes enteros que se obtiene al multiplicar el original por el mínimo comúm múltiplo de todos los denominadores que aparezcan en los coeficientes. Por ejemplo, el polinomio \( x^3+\frac{1}{6}x^2+ \frac{1}{5}x-1\) tiene las mismas raices que \(30x^3+5x^2+6x-30\), así que si tuviese raices enteras estarían entre los divisores de \(30\).