En este documento repasaremos cómo simplificar fracciones algebraicas.

Simplificaciones elementales

En esta sección vamos a repasar los procedimientos más usuales cuando se simplifican expresiones algebraicas. Comenzamos con un ejemplo en el que, tanto el numerador como el denominador, son de fácil factorización.

Vamos a simplificar la fracción \(\frac{4x^5}{2x^3}\). En primer lugar factorizamos numerador y denominador:

\[\begin{aligned} \frac{4x^5}{2x^3} &= \frac{2 \cdot 2 \ x^3 \, x^2}{2 \, x^3} \\ %\text{ (y simplificamos los factores comunes $2$ y $x^3$) } & =\frac{\require{cancel}\cancel{2} \cdot 2 \cancel{x^3} \, x^2}{\cancel{2} \cancel{x^3}}=2x^2. \end{aligned}\]

Puedes probarlo tú mismo (observa los paréntesis en el denominador). Usa el siguiente cuadro para simplificar expresiones.

Ejercicio

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

  1. \(\dfrac{6aba^3}{9a^2}\) .

  2. \(\dfrac{2x(x-4)}{(x-4)^2y}\) .

  3. \(\dfrac{12x^2(3+x)^3}{6x(x+3)}\) .

En el siguiente ejemplo constatamos que las factorizaciones no siempre se nos dan hechas. Por ejemplo:

Para simplificar la expresión \(\dfrac{ 2x^2+8x}{4x^2-4x}\), en primer lugar, nuevamente, factorizamos numerador y denominador:

\[\begin{aligned} \frac{ 2x^2+8x}{4x^2-4x} & =\frac{2x(x+4)}{4x(x-1)} \\ %\text{y simplificamos los factores comunes $2$ y $x$} & = \frac{2\cancel{x}(x+4)}{4\cancel{x}(x-1)} =\frac{x+4}{2(x-1)}. \end{aligned}\]

Puedes probarlo tú mismo. Usa el siguiente cuadro para factorizar polinomios.

Ejercicio

Factoriza y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

  1. \(\dfrac{x^2-xy}{xy-y^2}\) .

  2. \(\dfrac{x^3+x}{2x^2+9x}\) .

  3. \(\dfrac{4a^2+a}{ab-a^2}\) .

Identidades notables

En algunas expresiones tendremos que utilizar las identidades notables, por lo que vamos a recordarlas.

  1. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  2. \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

  3. \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Simplifiquemos la expresión \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}\). Para ello utilizamos que $(x+2)^2=x^2+4x+2$ y que $x^2-4=(x+2)(x-2)$

\[\begin{aligned} \frac{x^2+4x+4}{x^2-4}&=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} \\ %\text{(donde hemos utilizado $(x+2)^2=x^2+4x+2$ y que $x^2-4=(x+2)(x-2)$)} &=\frac{\cancel{(x+2)}(x+2)}{\cancel{(x+2)}(x-2)}=\frac{x+2}{x-2}.\end{aligned}\]

Ejercicio

Factoriza y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

  1. \(\dfrac{5x^2-5}{x^2-x}\) .

  2. \(\dfrac{3x^3-3x^2}{6(x^2-2x+1)}\) .

Suma y resta de fracciones algebraicas

En este tipo de operaciones con fracciones algebraicas, al igual que cuando se suman y restan fracciones de números, lo primero que debemos hacer es buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Lo vemos en el siguiente ejemplo.

Vamos a desarrollar la expresión: \(\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-1}-\frac{x+2}{x+1}\). Observamos que el m.c.m. de los denominadores es \((x-1)(x+1)=x^2-1\). Así que realizamos la operación de igual forma que con fracciones numéricas. Esto es,

\[\begin{aligned} \frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-1}-\frac{x+2}{x+1}&= \frac{x+1+2x-1-(x+2)(x-1)}{x^2-1}\\ &= \frac{3x-(x^2+x-2)}{x^2-1}=\frac{-x^2+2x+2}{x^2-1}.\end{aligned}\]

Ejercicio

Desarrolla y simplifica, todo lo posible, las siguientes expresiones algebraicas:

  1. \(\dfrac{3x+1}{x}-\dfrac{1}{x^2-x}\) .

  2. \(x+\dfrac{2x+1}{x-3}\) .

  3. \(\dfrac{1}{2(x-1)}+\dfrac{1}{2(x+1)}\) .

Producto y cociente de fracciones algebraicas

Al igual que hemos comentado en la sección anterior, la multiplicación y la división de fracciones algebraicas se ejecuta de la misma forma que con fracciones numéricas. Siempre buscaremos la máxima simplificación en el resultado final.

Realicemos el producto \(\frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{x^2-x}{x^2+2x+1}\). Para ello, multiplicamos numeradores y multiplicamos denominadores, con lo que nos queda:

\[\begin{aligned} \frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{x^2-x}{x^2+2x+1}&=\frac{(x+1)(x^2-x)}{(x-1)(x^2+2x+1)} \\ %\text{factorizamos en el numerador y en el denominador} &=\frac{(x+1)\,x\,(x-1)}{(x-1)(x+1)^2} \\ %\text{y simplificamos los factores $x+1$ y $x-1$} &=\frac{\cancel{(x+1)} \, x \cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)(x+1)}(x+1)}= \frac{x}{x+1}.\end{aligned}\]

Ejercicio

Realiza y simplifica las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

  1. \(\dfrac{\frac{x-2}{x+2}}{ \frac{x}{(x+2)^2}}\) .

  2. \(\dfrac{2a}{a^2-4} \cdot \dfrac{a+6}{a^2+2a}\) .

  3. \(\dfrac{\frac{x}{x^2+4x+4} }{ \frac{x+2}{x^2-x}}\) .

Racionalización de fracciones algebraicas

La racionalización de fracciones algebraicas consiste en eliminar los posibles radicales que aparezcan en el denominador. Para ello, multiplicaremos tanto en el numerador como en el denominador por el conjugado de este último. En el ejemplo siguiente realizamos esta operación.

En la fracción \(\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) vamos a eliminar los radicales del denominador multiplicando en los dos miembros de la fracción por el conjugado del denominador; esto es, multiplicamos por \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) y y utilizamos una identidad notable que hemos recordado anteriormente. \[\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} =\frac{c\, (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{c\, (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}.\]

Ejercicio

Racionaliza las siguientes fracciones:

  1. \(\dfrac{x}{x-\sqrt{x}}\) .

  2. \(\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\) .

  3. \(\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\) .

Cuestionario fracciones algebraicas (1)

Pregunta 1

Racionaliza y simplifica la expresión \(\frac{x^2-4}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}\)

  1. \(\frac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2\sqrt{2}}{x+2}\)

  2. \(x\sqrt{2}-2\sqrt{x}\)

  3. \(x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+\sqrt{2}x+2\sqrt{2}\)

Pregunta 2

Simplifica la expresión \(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{7}}\).

  1. \(\frac{12}{7}\)

  2. \(\frac{7}{12}\)

  3. \(\frac{16}{21}\)

Pregunta 3

Simplifica la expresión \(\frac{1}{2}\left(\frac{3}{8}+\frac{4}{6} \right)\).

  1. \(\frac{7}{28}\)

  2. \(\frac{25}{48}\)

  3. \(\frac{16}{21}\)

Pregunta 4

Simplifica la expresión \(\left(\frac{36}{4}\right)^{1/2}\).

  1. \(\frac{9}{2}\)

  2. \(3\)

  3. \(3^2\)

Pregunta 5

Simplifica la expresión \(\sqrt{\frac{a^2}{c^{-2}}} \).

  1. \(ac\)

  2. \(|ac|\)

  3. \(\frac{a}{c}\)

Pregunta 6

\((2+3)^2=4+3^2.\)

  1. Verdadero

  2. Falso

Pregunta 7

\(x^2+y^2+2\, x\, y=(x+y)^2. \)

  1. Verdadero

  2. Falso

Pregunta 8

\((x+y)^2+y^2+2\, (x+y)\, y=(x+2\,y)^2. \)

  1. Verdadero

  2. Falso

Pregunta 9

\(\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}, \quad \ \ x,y \ge 0. \)

  1. Verdadero

  2. Falso

Pregunta 10

\(\frac{z}{x+y}=\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\; , \quad \ \ x+y\neq 0, \ \ x\neq 0, \ \ y\neq 0. \)

  1. Verdadero

  2. Falso

Pregunta 11

\(\frac{x+y}{z}=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\; , \quad \ \ z \neq 0. \)

  1. Verdadero

  2. Falso


Cuestionario fracciones algebraicas (2)

Pregunta 1

Desarrolla y simplifica la expresión \(\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{2x}+\frac{1}{x^2-x}\).

  1. \(\frac{x^2+2}{2(x^2-x)}\)

  2. \(\frac{x^2+4}{2x^2+x}\)

  3. \(\frac{x^2+3}{2x^2-2x}\)

Pregunta 2

Desarrolla y simplifica la expresión \(x-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\).

  1. \(\frac{x^4-x^2-1}{x^3+x}\)

  2. \(\frac{x^4+x^2+1}{2x^3+2x}\)

  3. \(\frac{x^3+x^2-1}{x^3-2x}\)

Pregunta 3

Racionaliza y simplifica la expresión \(\frac{x^2-4}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}\)

  1. \(\frac{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2\sqrt{2}}{x+2}\)

  2. \(x\sqrt{2}-2\sqrt{x}\)

  3. \(x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+\sqrt{2}x+2\sqrt{2}\)

Pregunta 4

Factoriza y simplifica la expresión \(\frac{4a^2-4}{a^2b+2ab+b}\).

  1. \(\frac{4a-1}{ab-b}\)

  2. \(\frac{4a-4}{ab+b}\)

  3. \(\frac{4a+4}{ab-b}\)

Pregunta 5

Factoriza y simplifica la expresión \(\frac{2n^2-4n+2}{mn-m}\).

  1. \(\frac{2(n-1)}{m}\)

  2. \(\frac{2m-1}{m}\)

  3. \(\frac{2n+1}{2m}\)

Pregunta 6

Simplifica la expresión \(\frac{12x(1+x)^2}{18x^3(x+1)}\).

  1. \(\frac{2(x+1)}{3x^2}\)

  2. \(\frac{2x+1}{6x^2}\)

  3. \(\frac{2(x+1)}{6x^3}\)


Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las simplificaciones algebraicas están hechas con Algebrite