Generalidades de funciones

En esta lección vamos a dar un repaso a las funciones más comunes que usaremos en el curso de cálculo. Aunque el concepto de función puede definirse en ambientes muy abstractos nosotros nos restringiremos al ámbito en el que vamos a trabajar, que es el de las funciones reales de variable real. Llamaremos \(\mathbb{R}\) al conjunto de los números reales. De forma rigurosa una función es un subconjunto \(F\) del conjunto de todos los pares \(\{ (x,y) : x\in \mathbb{R}, \ y \in \mathbb{R} \}\) (esto es lo que se llama el producto cartesiano \(\mathbb{R}\times \mathbb{R} \)) que verifica una la condición de que si \((a,b)\) y \((a,c)\) están en \(F\) entonces tiene que ocurrir que \(b=c\).

Esta definición puede parecer muy abstracta, y de hecho lo es, pero veremos enseguida que responde a la idea que todos tenemos de una función. La forma más común de representar las funciones reales de variable real es la siguiente. Entendemos por una función una fórmula \(f \colon A \to \mathbb{R}\) que nos hace corresponder a cada número \(x\in A\) otro número al que llamaremos \(f(x)\in \mathbb{R}\)

Consideremos la función \(f \colon \mathbb{R}^{+}_{0}\to \mathbb{R}\) definida, para \(x\in \mathbb{R}^{+}_{0}\), por \(f(x)=\sqrt{x}+1\). En este caso la “fórmula” que representa la función es \(\sqrt{x}+1\). No es difícil ver que esta función es una función con la definición que hemos dado antes. De hecho en este caso la función con la que estamos tratando sería \[\left\{ (x,\sqrt{x}+1) : x\in \mathbb{R}^{+}_{0} \right\} .\]

La condición que hemos impuesto en la definición (que si dos pares de números de la función tienen la misma primera coordenada entonces tienen que ser el mismo par) no permite que nosotros le llamemos función a cosas como \(f \colon \mathbb{R}^{+}_{0}\to \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\pm \sqrt{x}+1\) ya que los pares \((4,3)\) y \((4,-1)\) formarían parte de la (supuesta) función.

Es más usual, como he dicho antes, representar la funciones de la forma \(f \colon A\to B\) donde \(A\) y \(B\) son subconjuntos de \(\mathbb{R}\) y \(f\) es una “ley” o “fórmula” que nos permite calcular la función. En el caso de representarse de esta forma al conjunto \(A\) se le denomina dominio de la función y al conjunto \(B\) codominio. Un elemento que utilizaremos más adelante es el concepto de imagen de una función, ya sea de su dominio o de parte de él. Si tenemos una función y consideramos \(E\subset A\) la imagen mediante \(f\) del conjunto \(E\) es el conjunto \[f(E)=\left\{ y\in B: \text{ existe } x\in E \text{ tal que } f(x)=y\right\} .\]

Cuando como subconjunto \(E\) de \(A\) nos tomamos el propio conjunto \(A\) a veces se dice simplemente “la imagen de \(f\)” y se puede notar como \(\operatorname{Im}(f)\).

Propiedades de funciones

Existen multitud de propiedades de funciones. Algunas más profundas como la continuidad o derivabilidad se estudiarán en capítulos aparte. Aquí estudiaremos algunas muy generales, sin pretender ser exhaustivos, son las siguientes.

Operaciones con funciones

Podemos definir nuevas funciones a partir de unas dadas de varias formas.

Vamos ahora a repasar las principales funciones que aparecen en el cálculo.

Funciones polinómicas y racionales

Son las más sencillas y las ponemos aquí solo para que el panorama sea más completo. Las funciones polinómicas o polinomios no creemos que sea necesario definirlas. Son funciones cuyo dominio es todo \(\mathbb{R}\) y son continuas y derivables en todo \(\mathbb{R}\).

Las funciones racionales son el cociente de dos polinomios. El dominio es todo \(\mathbb{R}\) salvo los números que hagan que el denominador sea \(0\) (para evitar dividir por \(0\)). También son continuas en su dominio y derivables y la derivada se obtiene con la regla de la derivada de un cociente.

Función exponencial

Las funciones exponenciales son las funciones \(f\) para las que existe un número \(a>0\) de forma que \(f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) viene dada por \(f(x)=a^x\), \(\forall x\in \mathbb{R}\). En este caso se le llama función exponencial de base \(a\). Es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\) y su derivada vale \(f'(x)=a^x \log(a)\).

Teniendo en cuenta que, para \(x\in \mathbb{R}\), se verifica que \( a^{-x}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{x}\), entonces las propiedades que tienen las funciones exponenciales de base mayor que \(1\) se traducen en propiedades de las funciones exponenciales de base \(<1\).

Veamos algunas características de estas funciones.

Puedes comprobar gráficamente las propiedades anteriores variando el valor de \(a\) en la siguiente representación de la función exponencial.

De entre todas las funciones exponenciales hay una destacada por su importancia en distintos campos de la ciencia y es la función exponencial de base \(e\). En este caso la derivada es \(f'(x)=e^x\). De hecho cuando se habla de la “función exponencial” sin hacer mención a ninguna base especial, nos referimos a ésta.

Función logarítmica

Cuando hemos comentado las propiedades de las funciones exponenciales de base \(a\ne 1\) hemos visto que, tanto si \(a>1 \) o \(a<1\), dichas funciones son una biyección de \(\mathbb{R}\) sobre \(\mathbb{R}^+\). Por tanto tienen inversa. A la inversa de la función exponencial de base \(a\) se le llama función logarítmica de base \(a\). Atendiendo a esta definición está claro que, para \(a\ne 1\), \(a>0\) la función logaritmo de base \(a\), \(\log _a \colon \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}\). Es continua y derivable en \(\mathbb{R}^+\) y su derivada vale \(\displaystyle f^{\prime} (x)=\frac{1}{x\log(a)}\).

Las propiedades de \(\log _a\) de obtienen de su definición como inversa de la función exponencial de base \(a\).

Puedes comprobar gráficamente las propiedades anteriores variando el valor de \(a\) en la siguiente representación de la función logarítmica.

Al igual que antes hay una función logarítmica destacada, y es cuando la base es el número \(e\). En este caso se llama logaritmo neperiano o simplemente logaritmo, y se nota \(\log\) sin poner ninguna base. En este caso su derivada vale \(f'(x)=\frac{1}{x}\).

Función potencial

Dado un número \(b\in \mathbb{R}\) la función potencial de potencia \(b\) es la función \(f \colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\) definida para cada \(x\in \mathbb{R}^+\) por \(f(x)=x^b\). Es continua y derivable en \(\mathbb {R}^+\) y su derivada vale \(f'(x)=bx^{b-1}\).

Algunas de las propiedades de estas funciones dependen del valor de \(b\). El caso más trivial es cuando \(b=0\) ya que entonces \(f\) es la función constantemente igual a \(1\).

Si \(b>0\) entonces \(x^b\) es estrictamente creciente y cumple que \(\lim_{x\to 0} x^b=0\) y \(\lim_{x\to +\infty }x^b=+\infty\), mientras que si \(b<0\) se tiene que \(x^b\) es estrictamente decreciente y \(\lim_{x\to 0}x^b=+\infty \) mientras que \(\lim_{x\to +\infty}x^b=0\)

Tanto si \(b>0\) como si \(b<0\) la función potencial de potencia \(b\) es una biyección de \(\mathbb{R}^+\) sobre si mismo cuya función inversa es la función potencial de potencia \(\frac{1}{b}\), \(x^{1/b}\).

Funciones trigonométricas

Las principales funciones trigonométricas son la función seno, la función coseno y la función tangente. A partir de estas se construyen sus inversas, arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

Hay dos o tres igualdades fundamentales que hay que conocer respecto a las funciones trigonométricas. Basándose en estas igualdades se obtienen todas las demás.

A partir de estas propiedades fundamentales surgen todas las propiedades de las funciones trigonométricas, por ejemplo si en las fórmulas del coseno y el seno de una suma hacemos las dos variables la misma obtenemos las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble (suele decirse del ángulo doble aunque nosotros hayamos definido las funciones trigonométricas sobre los números reales y no sobre ángulos).

\[\begin{aligned} \cos(2x) & =\cos^2(x)-\mathrm{sen}^2(x) \\ \mathrm{sen}(2x) & =2\mathrm{sen}(x)\cos(x)\end{aligned}\]

También es conveniente recordar las razones trigonométricas de algunos números destacados \[\begin{array}{ccccc} \cos(0)=1, &\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}, &\cos (\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, & \cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2},&\cos(\frac{\pi}{2})=0 \\ \mathrm{sen}(0)=0, &\mathrm{sen}(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}, &\mathrm{sen} (\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, & \mathrm{sen}(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2},&\mathrm{sen}(\frac{\pi}{2})=1 \end{array}\]

Además podemos saber razones trigonométricas de otros muchos números utilizando las propiedades anteriores. Por ejemplo, tenemos que

\[\mathrm{sen}(x+\tfrac{\pi}{2})=\mathrm{sen}(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1=\cos (x),\] y también \[\cos(x+\tfrac{\pi}{2})=\cos(x)\cdot 0-\mathrm{sen}(x)\cdot 1=-\mathrm{sen} (x).\]

Funciones trigonométricas inversas

Cuando restringimos la función seno al intervalo \([-\pi /2,\pi/2]\) entonces seno es una biyección de dicho intervalo sobre el intervalo \([-1,1]\) y su inversa es la función arcoseno, \(\mathrm{arcsen} \), que verifica que

\[\begin{aligned} \mathrm{arcsen} (\mathrm{sen} (x)) & =x , \ \forall x\in [-\pi /2,\pi /2],\\ \mathrm{sen} (\mathrm{arcsen} (x)) & =x,\ \forall x\in [-1,1].\end{aligned}\]

La función arcoseno es continua en \([-1,1]\) y derivable en \((-1,1)\) y su derivada vale \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\).

Análogamente la función coseno es una biyección decreciente del intervalo \([0,\pi]\) sobre \([-1,1]\) y su inversa es la función arcocoseno que verifica

\[\begin{aligned} \arccos (\cos (x))& =x, \ \forall x\in [0,\pi ],\\ \cos (\arccos (x)) & =x,\ \forall x\in [-1,1].\end{aligned}\]

Al igual que arcoseno la función arcocoseno es continua en \([-1,1]\) y derivable en \((-1,1)\) y su derivada vale \(\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\).

Finalmente arcotangente es la inversa de la función tangente, cuando ésta la restringimos al intervalo \((-\pi /2, \pi /2)\) y verifica que \[\arctan (\tan (x))=x\ \ \forall x\in ( -\pi /2, \pi /2),\ \ \tan (\arctan (x))=x,\ \ \forall x\in \mathbb{R}.\]

Es continua y derivable en todo \(\mathbb{R}\) y su derivada vale \(\displaystyle \frac{1}{1+x^2}\).

Cuestionario de funciones elementales (1)

Pregunta 1

Consideramos la función \(f(t)=t^2+1\).

  1. Si el dominio de la función es el conjunto de números reales, no existe ningún valor \(t\) tal que \(f(t)=0\).

  2. Si el dominio de la función es el conjunto de números reales, existe un valor \(t\) tal que \(f(t)=0\).

Pregunta 2

Consideramos la función \(f(t)=\sqrt{t+1}\).

  1. Esta función tiene como dominio maximal el conjunto de los números reales mayores o iguales que -1.

  2. Esta función tiene como dominio maximal el conjunto de los números reales.

  3. Esta función tiene como dominio maximal el conjunto de los números reales positivos.

Pregunta 3

Consideramos la función \(f(t)=\sqrt{t+1}\).

  1. No existe ningún valor \(t\) tal que \(f(t)=0\).

  2. Existe ningún valor \(t\) tal que \(f(t)=0\).

Pregunta 4

Consideramos la función \(f(t)=t^2+1\).

  1. \(f(x^2)=x^4+1\).

  2. \(f(x^2)=x^2+1\).

  3. \(f(x^2)=(x+1)^2\).

Pregunta 5

Consideramos la función \(f(t)=\sqrt{t+1}\).

  1. No existe ningún valor \(t\) tal que \(f(t)=0\).

  2. Existe un valor \(t\) tal que \(f(t)=0\).

Pregunta 6

Consideramos la función \(f(t)=t^2+1\).

  1. \(f(x+1)=x^2+2\).

  2. \(f(x+1)=x^2+2x+2\).

  3. \(f(x+1)=(x+1)^2\).

Pregunta 7

Consideramos la función \(g(s)=e^{-s}\).

  1. Esta función tiene como dominio maximal el conjunto de los números reales mayores o iguales que -1.

  2. Esta función tiene como dominio maximal el conjunto de los números reales.

  3. Esta función tiene como dominio maximal el conjunto de los números reales positivos.

Pregunta 8

Consideramos la función \(g(s)=e^{-s}\).

  1. Esta función toma siempre valores positivos, sea cual sea el valor \(s\) considerado.

  2. Esta función toma siempre valores negativos, sea cual sea el valor \(s\) tomado.

  3. Esta función puede tomar valores positivos y negativos.

Pregunta 9

Consideramos la función \(h(x)=\frac{x}{x^2+1}\).

  1. No está definida para los números reales negativos.

  2. No está definida para los números reales positivos.

  3. Está definida para cualquier número real.

Pregunta 10

Consideramos la función \(h(x)=\frac{x}{x^2+1}\).

  1. \(h(x)=h(x^2)\) para cualquier valor de \(x\).

  2. \(h(x)=h(-x)\) para cualquier valor de \(x\).

  3. \(h(-x)=-h(x)\) para cualquier valor de \(x\).


Cuestionario de funciones elementales (2)

Pregunta 1

¿Es cierto que \(\mathrm {arcsen}(\mathrm {sen}(2))=2\)?

  1. No

Pregunta 2

¿Es cierto que \(\arccos (\cos (2))=2\)?

  1. No

Pregunta 3

Halla la inversa de la función \(f:\mathbb {R}^+_0\to \mathbb {R}\) definida por \(f(x)=x^2-5\).

  1. \(g(x)=\sqrt {x}+5,\ x\ge -5\)

  2. \(g(x)=\sqrt {x+5},\ x\ge -5\)

Pregunta 4

Señala cuales de los siguientes pares de funciones son inversas.

  1. \(f(x)=5x+3\), \(g(x)=\frac {x-3}{5}\)

  2. \(f(x)=\frac {4}{5}x+4\), \(g(x)= \frac {5}{4}x+3\)

  3. \(f(x)=x^2\) si \(x<0\), \(g(x)= \sqrt {x}\) si \(x>0\)

Pregunta 5

Decide a qué respuesta es igual \(\cos ^2(x)\).

  1. \(\frac {1-\cos (2x)}{2}\)

  2. \(\frac {1+\cos (2x)}{2}\)

  3. \(1-\frac {\cos (2x)}{2}\)

Pregunta 6

Decide a qué respuesta es igual \(\mathrm {sen}^2(x)\).

  1. \(\frac {1-\cos (2x)}{2}\)

  2. \(\frac {1+\cos (2x)}{2}\)

  3. \(1-\frac {\cos (2x)}{2}\)

Pregunta 7

Resuelve la ecuación \(\log _3(x)+\log _3(2x+1)=1\) y escribe el valor de \(x\).

Pregunta 8

Resuelve la ecuación \( 2^{3\log _2(x)}=4\log _3(9)\) y escribe el valor de \(x\).

Pregunta 9

Calcula la siguiente expresión: \(\displaystyle \log _2(4)+\log _3\frac {1}{9}\).

Pregunta 10

Simplifica la expresión \(5\log _3(9)-2\log _2(16)\).



Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con JSXGraph. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.