Si \(f\) es una función derivable definida en un intervalo, entonces
\(f\) es creciente si, y sólo si, la derivada es mayor o igual que cero;
\(f\) es decreciente si, y sólo si, la derivada es menor o igual que cero; y
\(f\) es constante si, y sólo si, la derivada es cero.
Para estudiar el crecimiento de la función \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+1\), estudiamos el signo de la derivada. Primero vemos dónde se anula. \[f'(x)=6x^2-6x-12=0 \text{ sí y sólo sí } x\in\{-1,2\}.\] Como sabemos donde se anula la derivada, también sabemos donde no se anula. Esto es, la función es monótona en \(]-\infty,-1]\), en \([-1,2]\) y en \([2,+\infty[\). Evaluando la derivada en un punto de cada intervalo, terminamos:
\(f'(-3)=60>0\), y por tanto \(f\) es creciente \(]-\infty,-1]\);
\(f'(0)=-12<0\), en consecuencia \(f\) es decreciente \([-1,2]\); y,
\(f'(8)=324>0\), por lo que \(f\) es creciente \([2,+\infty[\).
¿Sabrías decir algo sobre los máximos y mínimos relativos de esta función?
El cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función \(f\) se suele hacer en dos pasos.
En primer lugar se calculan los puntos críticos, es decir, resolvemos la ecuación \(f'(x)=0\).
Los cambios en la monotonía son suficientes para descubrir los extremos relativos: si la función pasa de creciente a decreciente alcanza un máximo relativo y si pasa de decreciente a creciente tiene un mínimo relativo
También podemos sustituir el segundo paso por el estudio de la segunda derivada en los puntos críticos:
si \(f'(a)=0\), y además \(f''(a)>0\), entonces \(f\) tiene un mínimo relativo en \(a\);
si \(f'(a)=0\), y además \(f''(a)<0\), entonces \(f\) tiene un máximo relativo en \(a\).
Si analizamos el signo de la derivada segunda de la función del ejemplo anterior en los puntos críticos que habíamos obtenido, concluimos cuál es mínimo y cuál es máximo. Como \(f''(x)= 12x-6\), tenemos:
\(f''(-1)=-18<0\), por tanto en \(x=-1\) tenemos un máximo relativo;
\(f''(2)=18>0\), por tanto en \(x=2\) tenemos un mínimo relativo.
A esta misma conclusión se llega usando los cambios de monotonía que ya hemos calculado anteriormente.
Si \(f\) es una función dos veces derivable,
Una función es convexa si, y sólo si, la segunda derivada es mayor o igual que cero; y
una función es cóncava si, y sólo si, la segunda derivada es menor o igual que cero.
Si \(f''(a)=0\) y \(f'''(a)\neq 0\), decimos que \(f\) tiene un punto de inflexión en \(a\). Esto quiere decir que en dicho punto la función pasa de ser cóncava a convexa o al revés.
Seguimos con la función del ejemplo 2. Como \(f''(x)=12x-6\) tenemos que \(12x-6=0\), o lo que es lo mismo, \(x=1/2\). Ya tenemos nuestro candidato a punto de inflexión. Ahora calculamos la derivada tercera: \(f'''(x)=12\), con lo que \(f'''(1/2)=12>0\). Por tanto, tenemos un punto de inflexión en \(x=1/2\). Vamos a calcular ahora si pasa de cóncava a convexa, o viceversa. Para ello, evaluamos \(f''\) en puntos a ambos lados de \(x=1/2\):
\(f''(0)=-6<0\), por lo que la función antes de \(1/2\) es cóncava.
\(f''(1)=6>0\), por lo que la función después de \(1/2\) es convexa.
Vamos a aplicar todos los apartados anteriores para hacer el estudio completo de la función \(f \colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x\).
Calculamos los puntos donde se anula la derivada para averiguar el signo del resto. \[f'(x)=3x^2+6x-9 =0,\ x\in\{-3,1\}.\] Miramos el signo de la derivada en algunos puntos intermedios: por ejemplo, \(f'(-10)>0\), \(f'(0)<0\) y \(f'(5)>0\). Por tanto,
\(f\) es creciente en \(]-\infty , -3]\),
\(f\) es decreciente en \([-3,1]\) y
\(f\) es creciente en \([1,+\infty[\).
Directamente de los cambios de monotonía ya podemos deducir que
\(f\) tiene un máximo relativo en \(-3\) y
\(f\) tiene un mínimo relativo en \(1\).
A la misma conclusión llegamos si evaluamos la segunda derivada: \[f''(x)=6x+6, \quad f''(-3)=-12, \quad \text{y} \quad f''(1)=12.\]
Para estudiar la concavidad y convexidad de una función, miramos el signo de la segunda derivada: \[f''(x)=6x+6=0,\ x= -1.\] Por tanto,
\(f''(x)\) es negativa en \(]-\infty,-1]\) (función cóncava)
\(f''(x)\) es positiva en \([-1,+\infty[\) (función convexa)
En \(-1\) la función tiene un punto de inflexión ya que cambia de de convexa a cóncava.
Estudia la función \(f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=3\,{x}^{4}-4\,{x}^{3}-6\,{x}^{2}+12\,x\).
Considera la función \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \(f(x)=\displaystyle e^{\frac{2x}{x^2+1}}\).
Calcula las asíntotas de la gráfica de \(f\).
Determina los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento).
Determina los extremos relativos de \(f\).
Esboza la gráfica de \(f\).
Haz un estudio completo de la función \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\) y representa su gráfica.
Haz un estudio completo de la función \(f(x)=\frac{x}{x^2-1}\) y representa su gráfica.
A partir de la gráfica de \(f(x)=\cos(x)\), dibuja la gráfica de las funciones siguientes:
\( f(x)=\cos(x+1)\),
\(f(x)=\cos(x-1)\),
\(f(x)=\cos(2x)\),
\(f(x)=\cos(x)-1\),
\(f(x)=\cos(x)+1\),
\(f(x)=\lvert\cos(x)\rvert\).
Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las representaciones gráficas se han realizado con JSXGraph. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez.