En los problemas en los que hay que optimizar una cantidad, ya sea buscar un máximo o un mínimo, los pasos suelen ser los siguientes.

1. Planteamos analíticamente la función a optimizar utilizando tantas variables como sean necesarias.

2. Buscamos las relaciones entre las diferentes variables usando los datos del enunciado y dejamos todas en función de una de ellas.

3. Derivamos, igualamos a cero y calculamos los puntos críticos.

4. Comprobamos con la segunda derivada o con el estudio de la monotonía que tenemos un máximo o un mínimo relativo.

Ejemplo

Vamos a calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio \(10\).

En la siguiente representación gráfica, puedes desplazar el punto rojo. El área del rectángulo correspondiente se calculará automáticamente.

1. Según hemos comentado, el primer paso es encontrar la función a optimizar. Si llamamos \(x\) al extremo inferior derecho del rectángulo e \(y\) a la altura, el área es \(2xy\).

2. ¿Cómo podemos relacionar \(x\) e \(y\)? Hay varias formas de hacerlo: la circunferencia centrada en el origen y de radio \(10\) está formada por los puntos \((x,y)\) que cumplen la ecuación \[x^2+y^2=100\] con lo que despejando, \(y = \sqrt{100-x^2}\). Ya podemos escribir la función a optimizar: \[f\colon [0,10]\rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=2xy=2x\sqrt{100-x^2}.\]

3. Derivamos

   \[\begin{aligned} f'(x) & = 2\left( \sqrt{100-x^{2}}- \require{cancel}\frac{\cancel{2}x^{2}}{\cancel{2}\sqrt{100-x^{2}}} \right) = 2\left( \frac{100 -x^2}{\sqrt{100-x^2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{100-x^{2}}} \right) \\ & = \frac{2\, (100 -2x^2)}{\sqrt{100-x^2}},\end{aligned}\]

   e igualamos a cero \[f'(x)=0 \text{ que equivale a } 100-2x^{2}=0.\] Por tanto las raíces son \(-5\sqrt{2}\) y \(5\sqrt{2}\). Como la \(x\) tiene que ser positiva, llegamos a que la función tiene un punto crítico en \(5\sqrt{2}\).

4. Para comprobar que es un máximo, vemos que la segunda derivada es negativa: \[f''(x)=-\frac{6x}{\sqrt{100-{x}^{2}}}-\frac{2x^{3}}{{\left( 100-{x}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}}}\] y \(f''(5\sqrt{2})=-8\).

   También podemos comprobar si es un máximo, estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados del punto crítico. En este caso, el signo de \(f'(x)\) queda determinado por el signo de \(g(x)=100-2x^2\). Evaluando \(g\) en, por ejemplo, \(5\sqrt{2}-\frac{1}{2}\) y \(5\sqrt{2}+\frac{1}{2}\), obtenemos aproximadamente \(3.62\) y \(-4.48\), respectivamente. De aquí deducimos que la función \(f\) crece a la izquierda de \(5\sqrt{2}\) y decrece a su derecha. Por tanto, en \(5\sqrt{2}\) se alcanza un máximo relativo.

5. El área máxima es \(100\).