Concepto de primitiva

Sean \(I\) un intervalo de \(\mathbb{R}\) y \(f \colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función. Se dice que es \(F\colon I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es una primitiva de \(f\) si \(F\) es derivable y \(F\,'(x) = f(x)\) para todo \(x \in I\).

\( \)

Primitivas inmediatas

Si conocemos bien las derivadas de las funciones elementales, conoceremos bien la tabla de primitivas inmediatas. En el siguiente cuadro tenemos las primitivas de las funciones usuales.

\(f(x)\) \(\int f(x)\,dx\)
\(x^n\) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(1/x\) \(\log (\lvert x\rvert )\)
\(a^x\) \(a^x/\log(a)\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(\operatorname{sen}(x)\) \(-\cos(x)\)
\(\cos(x)\) \(\operatorname{sen}(x)\)
\(\tan(x)\) \(-\log (\lvert\cos(x)\rvert )\)
\(\sec^2(x)\) \(\tan(x)\)
\(\text{cosec}^2(x)\) \(-\text{cotan}(x)\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\operatorname{arcsen}(x)\)
\(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\arccos(x)\)
\(\frac{1}{1+x^2}\) \(\arctan(x)\)

Cálculo de integrales

La siguiente regla se aplica para calcular la integral de una función en un intervalo de la forma \([a,b]\).

Regla de Barrow: Sea \(f \colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) y \(F\) una primitiva de \(f\). Entonces, \[\int_a^b f(x) \, dx = F(b)-F(a) \ .\]

Vamos a calcular la integral de la función \(f(x)=x^2\) en el intervalo \([1,2]\).

En la siguiente gráfica se representa la función \(x^2\) y su integral entre \(1\) y \(2\). Puedes mover los límites de integración desplazando los puntos en la curva.

Propiedades de las integrales

Ejercicio

Calcula una primitiva de las siguientes funciones:

  1. \( f(x)=4x^3-5x^2-7x+1\),
  2. \(f(x)=x^2+\frac{1}{x}\),
  3. \(f(x)=5\sqrt{x}\),

  4. \(f(x)=\sqrt[4]{x^3}\).

Métodos de integración

Cambio de variable

En determinadas integrales nos interesa hacer un cambio de variable, esto es, \(x=g(t)\), con el objetivo de que la nueva integral sea más sencilla de calcular. Utilizaremos entonces el siguiente resultado.

Cambio de variable

Sean \(I\) y \(J\) intervalos de \(\mathbb{R}\). Sea \(g \colon J \rightarrow \mathbb{R}\) una función derivable y con derivada \(g^{\prime}\) continua, de forma que \(g(J)\subseteq I\). Consideremos \(f \colon I \rightarrow \mathbb{R}\) una función continua con primitiva \(F\). Entonces \[\int (f(g(x)) \, g^{\prime}(x) \, dx = F(g(x))+ C.\]

Si aplicamos este método a algunas de las primitivas inmediatas, obtenemos las siguientes reglas.

Como ejemplo, calculemos \(\int\frac{x}{x^2+1}\, dx\). Observamos que el numerador es "casi" la derivada del denominador; intentemos sacar provecho de esto. Multiplicamos y dividimos por \(2\) y queda \[\int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx.\]

Tomando \(g(x)=x^2+1\), esta integral es de la forma \(\int\frac{g'(x)}{g(x)}\, dx\), que por el cambio de variable, tomando \(f(x)=\frac{1}x\), obtenemos \[ \int \frac{x}{x^2+1}\, dx=\frac{1}2\int\frac{2x}{x^2+1}\, dx= \frac{1}2 \log (x^2 +1)+ C. \]

Vamos ahora a calcular \[\int \frac{e^{x}+3e^{2x}}{2+e^{x}}\, dx .\] En este caso no se ve claramente la composición en el integrando. Hacemos en este caso el cambio de variable: \(y=e^x\).

\[\begin{aligned} \int \frac{e^{x} + 3 e^{2x}}{2 + e^{x}}\, dx & = \left[ \begin{matrix} y=e^{x} \\ dy=e^{x}\, dx \ \Rightarrow \ dx= \frac{dy}{y} \end{matrix} \right] = \int \frac{y + 3y^{2}}{2 + y}\cdot \frac{1}{y}\, dy \\ & = \int \frac{1 + 3 y}{2+y}\, dy =\int \left( 3 - \frac{5}{2+y}\right)\, dy \\ & = 3 y - 5 \log \lvert {y + 2} \lvert +C = 3e^{x} - 5 \log \left(e^{x} +2\right) +C .\end{aligned}\]

Ejercicio

Calcula una primitiva de las siguientes funciones:

  1. \( f(x)=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+4}\),

  2. \(f(x)=\dfrac{\log(x)}{x}\),

  3. \(f(x)=(x^2-1) \, e^{x^3-3x+5}\),

  4. \(f(x)=\dfrac{2^{1/x}}{x^2}\),

  5. \(f(x)=(8x-3)(4x^2-3x+8)^{10}\),

  6. \(f(x)=(x^2-1)(x^3-3x+5)^{1/2}\),

  7. \(f(x)=x^3 \, \sqrt{x^4+1}\).

Integración por partes

Si \(u\) y \(v\) son dos funciones derivables, teniendo en cuenta que \((u\cdot v)'=u\cdot v'+v\cdot u'\), obtenemos que \[\int u(x)v'(x)\, dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\, dx.\] Esta fórmula aparece escrita en muchas ocasiones de la forma \[\int u \, dv = uv - \int v \, du.\] El siguiente teorema especifica con un poco más de rigor las condiciones necesarias.

Ejemplo

Calculemos \( \int x\, e^{x}\, dx\). \[\int x\, e^{x}\, dx = \left[ \begin{matrix} u=x, & du=dx \\ dv=e^{x}\,dx, & v=e^{x} \end{matrix} \right] = x\,e^{x} - \int e^{x} \, dx = x\,e^{x} - e^{x} = e^{x}(x-1) .\]

Ejercicio

Calcula una primitiva de las siguientes funciones:

  1. \( f(x)=\log(5x)\),

  2. \(f(x)=x^2 \, e^{-x}\),

  3. \(f(x)=\arctan(x)\),

  4. \(f(x)=\operatorname{sen}(x) \, e^{x}\),

  5. \(f(x)=x \log(x)\).

Integración de funciones racionales

En este apartado vamos a estudiar el cálculo de \(\int \frac{P(x)}{Q(x)}\, dx \), donde \(P\) y \(Q\) son funciones polinómicas. Obviamente, si el grado de \( P \) es mayor o igual que el de \( Q \), podemos dividir los dos polinomios obteniendo \[\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{G(x)}{Q(x)},\] donde \(H(x)\) y \(G(x)\) son polinomios y el grado de \(G\) es menor que el grado de \(Q\). Por tanto, de aquí en adelante supondremos siempre que el grado de \(P\) es menor que el grado de \(Q\).

Estudiaremos el caso en que \(Q(x)\) admite raíces reales. En este caso el denominador tiene la forma \(Q(x)= (x-a_{1})^{r_{1}}(x-a_{2})^{r_{2}} \ldots (x-a_{n})^{r_{n}}\), y podemos descomponer la fracción \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) en fracciones simples

\[\begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} & = \frac{A_{1}}{x-a_{1}}+ \frac{A_{2}}{(x-a_{1})^{2}} + \cdots + \frac{A_{r_{1}}}{(x-a_{1})^{r_{1}}} \\ & \quad + \frac{B_{1}}{x-a_{2}}+ \frac{B_{2}}{(x-a_{2})^{2}} + \cdots + \frac{C_{r_{n}}}{(x-a_{n})^{r_n}} \, .\end{aligned}\]

Cada una de estas fracciones son de integración inmediata.

Ejemplo

Calculemos \(\int \dfrac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} \, dx\).

\[\begin{aligned} \frac{1}{(x-1)(x+1)^{3}} & = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}+ \frac{D}{(x+1)^{3}} \\ & = \frac{A(x+1)^{3}+B(x-1)(x+1)^{2}+C(x-1)(x+1) + D(x-1)}{(x-1)(x+1)^{3}} \\ & = \frac{(A+B)x^3 +(3A+B+C)x^2 + (3A-B+D)x+ A-B-C-D}{(x-1)(x+1)^{3}}.\end{aligned}\]

Igualando coeficientes nos queda el sistema \[\begin{alignedat}{5} A&& {}+B&& && && {}=0, \\ 3A&& {}+ B&& {}+C&& && {}=0, \\ 3A&& {}-B&& &&{}+D && = 0, \\ A&& {}-B&& {}-C&& {}-D && {}=1. \end{alignedat}\] que tiene como soluciones \(A =1/8\), \(B = -1/8\), \(C=-1/4\) y \(D=-1/2\). La integral queda

\[\begin{aligned} \int \frac{dx}{(x-1)(x+1)^{3}} & = \frac{1}{8}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{8} \int \frac{dx}{x+1} - \frac{1}{4} \int \frac{dx}{(x+1)^{2}} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{(x+1)^{3}} \\ & = \frac{1}{8} \log \vert x-1 \vert -\frac{1}{8} \log \vert x+1 \vert + \frac{1}{4(x+1)} + \frac{1}{4(x+1)^{2}} . \end{aligned}\]

Ejercicio

Calcula una primitiva de las siguientes funciones:

  1. \( f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+2x-3}\),

  2. \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\),

  3. \(f(x)=\dfrac{x-1}{x^3-4x^2+5x-2}\),

  4. \(f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^3-3x-2}\),

  5. \(f(x)=\dfrac{x-1}{x^4-4x^3}\),

  6. \(f(x)=\dfrac{x}{x^3-3x^2+3x-1}\).

Ejercicio

Calcula las integrales siguientes:

  1. \( \int_1^2 \dfrac{\log(x)}{x} dx\),

  2. \(\int_0^1 \operatorname{arcsen}(x) \, dx\),

  3. \(\int_1^{\pi} \operatorname{sen}(x) \, e^{x} \, dx\),

  4. \(\int_2^3 \dfrac{x}{x^3-3x^2+3x-1} \, dx\),

  5. \(\int_1^{2/5} \log (5x) \, dx\),

  6. \(\int_0^1 x^3 \, \sqrt{x^4+1} \, dx\).

Cuestionario de integrales

Pregunta 1

Sea la función \(f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}\) definida como \[f(x)=x^4-4x^2+5 \]

Una primitiva de \(f\) es \(\frac {x^5}{5}-\frac {4}{3}x^3+5x+7\)

  1. Verdadero

  2. Falso

Calcula el valor de \(\int _0^1 f(x)\) (puedes dar hasta dos cifras decimales)

Pregunta 2

Sea \(f(x)= \frac {x^2}{x^2+1}\). Una primitiva de \(f\) es

  1. \(x-\arctan (x)\)

  2. \(\log (x^2+1)\)

  3. \(\arctan (x)\)

La integral de \(f\) en \([0,1]\) es (hasta dos cifras decimales)

Pregunta 3

La integral \(\int _1^2 x \, \ln (x) \, dx \) vale :

  1. \(\frac {1}{4}\)

  2. \(0\)

  3. \(2\,\ln ( 2) -\frac {3}{4}\)

Pregunta 4

Sea \(f(x)= \frac {4}{x^2-1}\). Una primitiva de \(f\) es

  1. \(\ln \left \vert \frac {x-1}{x+1} \right \vert \)

  2. \(2 \left (\ln (\vert x-1\vert ) -\ln (\vert x+1\vert ) \right )\)

Pregunta 5

Sea \(f(x)= \mathrm{sen}(2x)\). Su primitiva será:

  1. \(\dfrac{-\cos(2x)}{2}\)

  2. \(\cos(2x)\)

  3. \(\dfrac{\cos(2x)}{2}\)



Esta página está basada en las transparencias de Jerónimo Alaminos Prats, José Extremera Lizana y Pilar Muñoz Rivas para el Curso Cero de la ETSIIT de la Universidad de Granada. Las animaciones en JSXGraph y el maquetado de la página han sido realizados por Pedro A. García Sánchez. Cambios en la redacción original y ejemplos aportados por María Burgos.