Curso 0 piloto 2025: Matemáticas

Grados Física y Matemáticas

Si no conoces profundamente los conceptos y las herramientas para relacionarlos ¿cómo podrás trabajar con ellos? - dijo el viejo sabio heleno.

Primera y segunda sesiones: lenguaje matemático

1. Un poco de lógica: cuantificadores, negación, conectores, implicación, equivalencia.

2. ¿Qué significa (y qué no significa) una “frase” en matemáticas? Relación entre el lenguaje matemático y el lenguaje ordinario. Necesidad de una lectura comprensiva. Homogeneidad de una expresión matemática. Ejemplos.

3. Lo que tenemos que asumir: axiomas, postulados. Propiedades que deben cumplir.

4. Lo que tenemos que demostrar: lemas, proposiciones, teoremas y corolarios.

5. Demostraciones: distintos tipos ¿cómo elegir el tipo de demostración adecuado? Ejemplos. Una cosa es lo que dice una demostración y otra lo que pueda que entendamos que nos dice. Pautas para saber si una demostración no es correcta o está mal interpretada. Ejemplos versus contra-ejemplos.

Tercera sesión: números y aplicaciones

1. Números naturales, enteros, racionales, reales y complejos: introducción intuitiva, sus génesis e interrelaciones.

2. Conjuntos: elementos, pertenencia; subconjuntos (propios e impropios), el misterioso conjunto vacío; inclusión; igualdad de conjuntos; intersección, unión y diferencia de dos subconjuntos; producto cartesiano, relaciones binarias, distintas propiedades que puede cumplir una relación binaria, relaciones de orden, relaciones de equivalencia (la noción de objetos matemáticamente equivalentes, según algún criterio).

3. Polinomios con coeficientes reales (o complejos) en una indeterminada. Igualdad, propiedades.

4. Aplicaciones entre conjuntos, funciones numéricas; dominio, codominio, imagen; igualdad de aplicaciones, gráfica de una aplicación; distintos tipos de aplicaciones: inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, ejemplos; composición de aplicaciones, propiedades; aplicación identidad, aplicación inclusión; aplicación inversa de una aplicación biyectiva, caracterización por composición.

Cuarta sesión: de cero a infinito

1. Conjuntos equipotentes (o coordinables). Relación de equipotencia. Noción de conjunto finito. Propiedades de los conjuntos finitos.

2. Principio de inducción completa. Ejemplos.

3. Conjuntos infinitos. Conjunto infinito numerable y conjunto infinito no numerable. Propiedades. Noción intuitiva de cardinales infinitos. Ejemplos.