El fenómeno físico más obvio y fundamental es el movimiento. La Mecánima (ciencia del movimiento) es la rama de la Físaca que estudia los movimientos y las fuerzas que las producen. Atendiendo a la naturaleza de su contenido, la Mecánima se divide en dos partes:

1. Cinemática, o teoría geométrica del movimiento.

2. Dinámica, o estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas y los movimientos que éstos producen.

En este tema nos centraremos en la Cinemática, más concretamente en el caso particular de una dimensión. Los elementos básicos de la cinemática son \[\fbox{móvil, espacio, tiempo}\]

El móvil más simple que podemos considerar es el punto material (partícula). La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza. Entendemos por punto material o partícula un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo, su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente, la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones especíricas del problema considerado. Por ejemplo, podemos considerar la Tierra como un punto material si sśolo estamos interesados en su movimiento alrededor del Sol, pero no cuando estemos interesados en el movimiento de la Tierra alrededor de su propio eje.

Dado un punto material, con una cierta masa inercia, se precisará un cierto esfuerzo para modificar su estado de movimiento. Llamaremos fuerza a cualquier agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos.

Dado que estamos por el momento trabajando en una dimensión no hace falta notación vectorial, solo \(+\) ó \(-\) para indicar el sentido del movimiento.

1. Posición y desplazamiento

   La descripción del movimiento consiste en saber la posición de una partícula y cómo ésta cambia con el movimiento de la partícula. En un movimiento en una dimensión se suele escoger el eje \(x\) a lo largo de la línea por la que discurre el movimiento. Ejemplo:

   \[x (t_i) \, --------------------------- \, x(t_f)\]

   Distinguiremos ahora entre dos conceptos, desplazamiento y distancia recorrida. La distancia recorrida es la longitud que un partícula sigue desde su posición inicial a su posición final. Es, por tanto, una magnitud escalar siempre positiva. Por otra parte, el desplazamiento es el cambio en la posición de la partícula. Será positivo si la partícula va en la dirección de \(x\) positiva y negativo si va en la dirección de \(x\) negativa.

   EJEMPLO: Sacamos nuestro perro a pasear y le lanzamos un palo en línea recta a \(5\) m de distancia. El perro corre, alcanza el palo y regresa con él en la boca, recorriendo \(3\) m. Entonces se para y se echa al suelo.

   1. ¿Cuál es la distancia total que recorre el perro?

   2. ¿Cuál es el desplazamiento neto?

   Solución

   Solución:

   1. El perro ha recorrido como distancia total \(5+3=8\) m.

   2. Llamemos \(t_0\) al instante inicial. Para ese tiempo, supongamos que la posición del perro es \(x(t_0)=0\) m. Sea \(t_1\) el instante en el que el perro alcanza el palo. Para ese instante entonces, tendremos que \(x(t_1)=5\) m. Finalmente, sea \(t_3\) el instante de tiempo en el que el perro se para. En ese instante, la posición respecto al punto inicial será \(x(t_3)=2\) m. Por tanto, el desplazamiento neto será: \[\Delta x= x(t_3)-x(t_0)= 2 \text { m}\]




2. Velocidad media

   La velocidad media, en la dirección del eje \(x\), \(v_{m,x}\), se define como la razón entre el desplazamiento sobre el eje \(x\) y el intervalo de tiempo \(t\):

   \[v_{m}= \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_f)-x(t_i)}{t_f-t_i} \quad \quad \Delta x = v_{m} \, \Delta t\]

   La velocidad media puede ser positiva o negativa, al igual que el desplazamiento. Sus dimensiones serán L/T, y sus unidades en el S.I m/s.

   EJEMPLO: Se tardan 10 m de casa al conservatorio (5 km) en línea recta. Un día salimos \(15\) m antes del comienzo de la clase y nos encontramos con un semáforo estropeado que hace que la velocidad durante los \(2\) primeros km sea de \(20\) km/h. ¿Llegaremos a tiempo a clase? Solución

   Solución:

   • Velocidad durante el 1\(^{\rm er}\) tramo \(\rightarrow\) \(20\) km/h \(\rightarrow\) \(2\) km

   • Velocidad en los últimos \(3\) km \(\rightarrow\) \({\displaystyle \frac{5 {\rm km}}{10 {\rm m}/60 {\rm m} \times 1 {\rm h}} = 30 \, {\rm km/h}}\)

   • Distancia recorrida en el primer tramo \(\rightarrow\) \(2\) km \(\rightarrow\) ¿tiempo?

     \[\Delta t_1 = \frac{ 2 {\rm km}}{20 {\rm km/h}} = \frac{1}{10} \, {\rm h} = 6 \, {\rm min}\]

     En el segundo tramo:

     \(3\) km a \(30\) km/h \(\rightarrow\) \({\displaystyle \Delta t_2 = \frac{3 \, {\rm km}}{30 \, {\rm km/h}} = \frac{1}{10} \, {\rm h} = 6 \, {\rm min} }\)

   Por tanto, el tiempo total que tardamos en llegar al conservatorio es \(\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 6 \, {\rm min} + 6 \, {\rm min} = 12 \, {\rm min} \). Llegamos entonces a tiempo, y nos sobran \(3\) min antes del comienzo de las clases.




3. Velocidad instantánea y módulo de la velocidad:

   La velocidad instantánea es el límite de la relación \(\Delta x/\Delta t\) cuando \(\Delta t\) se aproxima a cero:

   \[v(t) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{ {\rm d} x }{{\rm d} t }\]

   Por tanto, podemos decir que la velocidad instantánea en el tiempo \(t\) es la derivada de la función posición, \(x(t)\), respecto al tiempo. Este valor puede ser positivo, negativo o nulo; en un movimiento unidimensional, la velocidad instantánea puede ser positiva (\(x\) creciente, negativa (\(x\) decreciente) o nula (no hay movimiento). En un objeto que se mueve a velocidad constante, la velocidad instantánea coincide con la velocidad media, y tendremos que la gráfica de la posición en función del tiempo será

   

   La velocidad instantánea es un vector, por lo que a veces podemos hablar del módulo de la velocidad instantánea.

   EJEMPLO: Supongamos una piedra que, partiendo del reposo, se deja caer desde un acantilado de altura \(h\). Se puede demostrar que la posición (vertical) de la piedra, en cualquier instante de tiempo, viene dada por: \[x(t) = h - 5t^2 \] Calcular la velocidad de la piedra en cualquier instante de tiempo. Solución

   Solución:

   Tendremos que calcular: \[v(t) = \frac{ {\rm d} x } { {\rm d} t } = -10 \, t \, ,\]

   y esa es la expresión de la velocidad en cualquier instante de tiempo \(t\).




4. Aceleración:

   La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad. Podemos definir la aceleración media, a partir de la velocidad media, o la aceleración instantánea, a partir de la velocidad instantánea:

   • Aceleración media:

     \[a_m = {\displaystyle \frac{\Delta v_{m}}{\Delta t} = \frac{v(t_1)-v(t_0)}{t_1-t_0} }\]

   • Aceleración instantánea:

     \[a(t) = {\displaystyle \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v(t) }{\Delta t} = \frac{ {\rm d}^2 x }{{\rm d} t^2} }\]

   EJEMPLO: Un guepardo puede acelerar de \(0\) a \(100\) km/h en \(2\) s, mientras que una moto requiere \(5\) s. Calcular las aceleraciones medias del guepardo y de la moto, y compararlas con la aceleración de caída libre debido a la gravedad (g\(=9.81\) m/s\(^2\)). Solución

   Solución:

   • Guepardo:

     \[a_m= \frac{100 \, {\rm km}/{\rm h} }{2 \, {\rm s} \cdot 1 \, {\rm h} / 3600 \, {\rm s} } = 180000 \, {\rm km}/{\rm h}^2 = 13.9 \, {\rm m}/{\rm s}^2\]

   • Moto:

     \[a_m= \frac{100 \, {\rm km}/{\rm h} }{5 \, {\rm s} \cdot 1 \, {\rm h} / 3600 \, {\rm s} } = 72000 \, {\rm km}/{\rm h}^2 = 5.6 \, {\rm m}/{\rm s}^2\]

   Por tanto, la aceleración del guepardo y de la moto, comparados con \(g\), será:

   • Guepardo:

     \[{\displaystyle \frac{13.8 \, {\rm m}/{\rm s}^2}{9.81 \, {\rm m} \ {\rm s}^2} } = 1.41 \quad \rightarrow \quad a_{\rm guep}= 1.41\, g\]

   • Moto:

     \[{\displaystyle \frac{5.6 \, {\rm m}/ {\rm s}^2}{9.81 \, {\rm m} \ {\rm s}^2} } = 0.57 \quad \rightarrow \quad a_{\rm moto} = 0.57 \, g\]

EJEMPLO: La posición de un partícula en función del tiempo viene dada por: \[x(t) = C \, t^3 \, ,\]siendo \(C\) una constante cuyas unidades son m/s\(^3\). Hallar la velocidad y la aceleración en función del tiempo. Solución

Solución:

Para ello, solo tendremos que derivar la expresión de la posición para obtener la velocidad y, una vez obtenida esta última, derivarla de nuevo para obtener la aceleración:

\[v(t)= \frac{ {\rm d} x} { {\rm d} t} = 3 \, C \, t^2 \quad \quad a(t) = \frac{ {\rm d}^2 x }{ {\rm d} t^2} = 6 \, C \, t\]

Sabemos que en general:

\[a = \frac{ {\rm d} v} { {\rm d} t}\]

Integrando:

\[{{\rm d} v} = a {\rm d} t \rightarrow \int_{t_0}^t {\rm d} v = \int_{t_0}^t a \, {\rm d} t = (a={\rm cte} ) = a \, \left ( t-t_0 \right )\]

Por tanto:

\[ v(t)= v(t_0) + a (t-t_0)\]

Si \(t_0=0\) y llamamos \(v(t_0)=v_0\), resulta:

\[\fbox{ $v(t)\, = \, v_0 \,+ \, a\, t $}\]

Pero también sabemos que

\[ \frac{{\rm d} x(t)}{{\rm d} t} = v(t)= v(t_0) + a \left ( t - t_0 \right )\]

\[{\rm d} x(t) = v(t_0) \, {\rm d} t + a \left ( t-t_0 \right ) \, {\rm d} t\]

Integrando:

\[ \int_{t_0}^t {\rm d} x = v(t_0) \int_{t_0}^t {\rm d} t + a \int_{t_0}^t \left (t-t_0 \right ) {\rm d} t\]

Por tanto, obtenemos como ecuación general que nos da la posición en el tiempo \(t\), \(x(t)\), con el tiempo \(t\) y la aceleración \(a\), del siguiente modo:

\[x(t)= x(t_0) + v(t_0) \, (t-t_0) + a \frac{(t-t_0)^2}{2}\]

Si \(t_0=0\), \(x(t_0)=x_0\) y \(v(t_0)=v_0\), podemos escribir finalmente:

\[\fbox{ $x(t)\, = \, x_0 \,+ \, v_0\, t + a \, \frac{t^2}{2} $}\]

Si en la ecuación general obtenida la velocidad \(v(t)\), despejamos \((t-t_0)\), tendremos:

\[ v(t) = v(t_0) + a\, (t-t_0) \, \, \rightarrow \, \, \left ( t-t_0 \right ) = \frac{v(t) -v(t_0) }{ a }\]

Y si ahora, sustituimos esta cantidad en la ecuación de la posición \(x(t)\), resulta:

\[x(t)= x(t_0) + v(t_0) \, (t-t_0) + a \frac{(t-t_0)^2}{2} \, \, \rightarrow \, , x(t) = x(t_0) + \frac{v(t_0)}{a} \left (v(t)-v(t_0) \right ) + \frac{a}{2 a^2} \left (v(t)-v(t_0) \right )^2\]

\[ x(t)=x(t_0) + \frac{1}{2\, a} \left (v(t) - v(t_0) \right ) \left ( 2 \, v(t_0) + v(t) - v(t_0) \right ) = x(t_0) + \frac{1}{2\, a} \left (v(t) - v(t_0) \right ) \left ( v(t_0) + v(t) \right ) =x(t_0) + \frac{1}{2\, a} \left (v(t)^2 - v(t_0)^2 \right )\]

Definiendo el desplazamiento \(\Delta x(t)= x(t)-x(t_0)\), podemos escribir finalmente:

\[\fbox{ $v(t)^2\, = \, v(t_0)^2 \, + \, 2 \, a \, \Delta x(t) $}\]

En esta sección, aprenderemos a analizar el movimiento de partículas en más de una dimensión, en concreto estudiaremos:

1. Cómo representar la posición de una partícula en dos o tres dimensiones usando vectores.

2. Cómo determinar el vector velocidad de un cuerpo conociendo su trayectoria.

3. Cómo obtener el vector aceleración de un cuerpo y por qué un cuerpo puede tener aceleración aunque el módulo de su velocidad sea constante.

El vector posición de una partícula es un vector que se traza desde el origen de coordenadas hasta la posición de la partícula. Para una partícula en el plano \(xy\), si su posición en dicho plano es el punto con coordenadas \((x,y)\), tendremos como vector de posición

\[ {\overrightarrow{r}} = x \, \hat{\imath} + y\, \hat{\jmath}\]

Fijémonos ahora en la siguiente figura (obtenida de este enlace):

Tenemos que \[{\overrightarrow{r}}+ \Delta {\overrightarrow{r}} = {\overrightarrow{r'}} \, \rightarrow \, \Delta {\overrightarrow{r}} = {\overrightarrow{r'}} - {\overrightarrow{r}}\]

Si las coordenadas de los puntos \(P\) y \(P'\) son \((x,y)\) e \((x',y')\), respectivamente, podemos escribir el vector desplazamiento \(\Delta {\overrightarrow{r}}\) de la siguiente manera:

Ahora, para definir el vector velocidad, tengamos en cuenta que la velocidad media se define como el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido. Entonces, definiremos el vector velocidad media como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo \(\Delta t= t_2-t_1\).

\[{\overrightarrow{v_m}} = \frac{\Delta {\overrightarrow{r}}} {\Delta t}\]

El módulo del vector desplazamiento es inferior a la distancia recorrida a menos que la partícula se mueva en línea recta. Sin embargo, si consideramos intervalos de tiempo cada vez más pequeños, el desplazamiento se aproxima a la distancia real recorrida por la partícula a lo largo de la curva.

Definimos el vector velocidad instantánea como el límite del vector velocidad media cuando \(\Delta t\) tiende a cero:

\[{\overrightarrow{v}} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta {\overrightarrow{r}}}{\Delta t} = \frac{{\rm d} {\overrightarrow{r}}}{{\rm d} t}\]

El módulo de \({\overrightarrow{v}}\), \(|{\overrightarrow{v}}|\) es la velocidad escalar, y la dirección de \({\overrightarrow{v}}\) coincide con la tangente a la curva en la dirección del movimiento de la partícula:

Para calcular la derivada, expresamos el vector desplazamiento en la forma anterior:

\[ \Delta {\overrightarrow{r}} = \Delta x \, \hat{\imath} + \Delta y \, \hat{\jmath}\]

Por tanto:

\[ {\overrightarrow{v}} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta {\overrightarrow{r}} }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta x \, \hat{\imath} + \Delta y \, \hat{\jmath} } {\Delta t} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{ \Delta x}{\Delta t} + \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}\]

Es decir: \[ {\overrightarrow{v}} = \frac{{\rm d} x}{{\rm d} t }\, \hat{\imath} + \frac{ {\rm d} y}{ {\rm d} t} \, \hat{\jmath} = v_x \, \hat{\imath} + v_y \, \hat{\jmath}\]

donde \(v_x= \frac{ {\rm d} x}{ {\rm d} t} \) y \(v_y= \frac{{\rm d} y}{{\rm d} t} \) son las componentes \(x\) e \(y\) de la velocidad.

El módulo \(|{\overrightarrow{v}}|\) vendrá dado por

\[ |{\overrightarrow{v}}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\]

y la dirección del vector \({\overrightarrow{v}}\) por el ángulo \(\theta\), que se obtiene como

\[\theta = \arctan \, \frac{v_y}{v_x}\]

Se define el vector aceleración media como el cociente entre la variación del vector velocidad instantánea \(\Delta {\overrightarrow{v}}\) y el intervalo de tiempo transcurrido, \(\Delta t\):

\[\vec{a_m} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{{\overrightarrow{v}}(t_1) - {\overrightarrow{v}}(t_0)}{t_1-t_0}\]

El vector aceleración instantánea es el límite de esta relación cuando \(\Delta t \rightarrow 0\):

\[{\overrightarrow{a}} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta {\overrightarrow{v}}}{\Delta t} = \frac{{\rm d} {\overrightarrow{v}}}{{\rm d} t }\]

\[l\vec{a} = \frac{{\rm d} v_x}{{\rm d} t} \hat{\imath} + \frac{{\rm d} v_y}{{\rm d} t } \hat{\jmath} + \frac{{\rm d}v_z}{{\rm d} t} \hat{k} = a_x\, \hat{\imath} + a_y \, \hat{\jmath} + a_z \, \hat{k}\]

En esta sección, vamos a estudiar el tipo de movimiento que describe un proyectil cuando se lanza al aire y se mueve libremente. Despreciando la resistencia del aire, diremos que el proyectil está en caída libre. Supongamos que lanzamos una partícula con velocidad inicial \(v_0\), formando un ángulo \(\theta_0\) con el eje horizontal y sea \((x_0,y_0)\) el punto de lanzamiento, para \(t_0=0\). Tendremos un movimiento en dos dimensiones, \(x\) e \(y\). Notaremos las magnitudes con un subídice \(x\) o \(y\), según se refieran a uno u otro movimiento.

Por tanto, las componentes de la velocidad inicial serán:

\[  v_{0x}=v_0 \, \cos \theta_0 \, \quad \, v_{0y}=v_0 \, {\rm sen} \, \theta_0\]

En ausencia de la resistencia del aire, la aceleración es la de la gravedad, \(g\), dirigida verticalmente hacia abajo. Por tanto:

\[a_x= 0 \, \quad \, a_y = -g\]

Es decir, el movimiento a lo largo del eje \(x\) es rectilíneo y uniforme y en el eje \(y\) es uniformemente acelerado.

Como la aceleración es constante, podemos usar las ecuaciones cinemáticas anteriores, y tendremos: I \[ v_x = v_{0x} \, \quad \, v_y=v_{0y} - g \, t\]

Los desplazamientos vendrán dados por:

\[ x(t) = x_0 + v_{0x} \, t \, \quad \, y(t) = y_0 + v_{0y} \, t - \frac{1}{2} g \, t^2\]

Si queremos saber cuál es la ecuación general para la trayectoria \(y(x)\), sólo tendremos que despejar \(t\) en la primera ecuación, y sustituirlo en la segunda:

\[t = \frac{x(t)-x_0}{v_{0x}}\]

Entonces:

\[ y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 = y_0+ v_{0y} \, \left ( \frac{ x(t) - x_0}{v_{0x} } \right ) - \frac{1}{2} \left ( \frac{x(t) -x_0}{v_{0x}} \right )^2\]

Desarrollando esta ecuación, y suponiendo que \(x_0=y_0=0\), resulta:

\[y(x) = \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \, x - \frac{1}{2} \frac{g}{v_{0x}^2} \, x^2\]

También, teniendo en cuenta las expresiones de \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\) anteriores, en términos de \(\theta_0\), podemos escribir:

\[y(x)= \tan \theta_0 \, x - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta_0} \, x^2\]