En este tema, introduciremos el concepto de fuerza en Física y veremos por qué las fuerzas son vectores. En particular, nos detendremos en los siguientes puntos:

1. La importancia de la fuerza neta sobre un objeto, y lo que sucede cuando la fuerza neta es cero \(\rightarrow\) \(1^{\rm a}\) Ley de Newton.

2. La relación entre la fuerza neta sobre un objeto, la masa del objeto y su aceleración \(\rightarrow\) \(2^{\rm a}\) Ley de Newton.

3. La manera en que se relacionan las fuerzas que dos objetos ejercen entre sí \(\rightarrow\) \(3^{\rm a}\) Ley de Newton.

Usaremos dos conceptos, la fuerza y la masa, para analizar los principios de la DINÁMICA, establecidos en las tres leyes que fueron enunciadas por Isaac Newton (1642-1727) en sus Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Newton tuvo en cuenta algunas ideas y observaciones que otros científicos hicieron antes que él, como Copérnico, Brahe, Kepler, y especialmente Galileo. Son leyes fundamentales, porque no pueden ser deducidas ni demostradas a través de otros principios. Newton también formuló la ley de la Gravitación Universal.

En el lenguaje cotidiano, una fuerza es un empujón o tirón. Una definición más apropiada de fuerza es una interacción entre dos cuerpos. La fuerza es una cantidad vectorial, con magnitud, dirección y sentido. Veamos cuatro tipos de fuerzas comunes:

1. Fuerza normal \(\vec{N}\): Cuando un objeto descansa o se empuja sobre una superficie, ésta ejerce una fuerza sobre el objeto, que es siempre perpendicular a la superficie.

   

2. Fuerza de fricción o rozamiento \(\vec{f}_r\): Además de la fuerza normal, una superficie puede ejercer una fuerza de fricción sobre un objeto que es paralela a la superficie y de sentido contrario al desplazamiento del objeto.

   

3. Fuerza de tensión \(\vec{T}\): Es la fuerza ejercida por una cuerda, cable, cadena, etc. Por ejemplo:

   

4. Fuerza Peso \(\vec{P}\): Es la fuerza que ejerce la gravedad sobre un objeto. Se trata de una fuerza de largo alcance, no es una fuerza de contacto. Siempre está dirigido hacia el suelo.

   

Algunas magnitudes de fuerzas comunes son las siguientes:

• Fuerza gravitacional del sol sobre la Tierra \(\rightarrow\) \(3.5 \times 10^{22}\) N.

• Peso de una manzana \(\rightarrow\) \(1\) N.

• Peso de un átomo de hidrógeno \(\rightarrow\) \(1.6 \times 10^{-26}\) N.

Un instrumento común para medir fuerzas es el dinamómetro.

Si dos fuerzas \(\vec{F_1}\) y \(\vec{F_2}\) actúan al mismo tiempo sobre un punto \(O\) de un cuerpo, el efecto sobre el movimiento del cuerpo es igual al de una sola fuerza \(\vec{R}\), que es igual a la suma vectorial de las fuerzas originales, \(\vec{R}= \vec{F_1} + \vec{F_2}\). En general, el efecto de cualquier número de fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpo es el mismo que el que resultaría cuando una sola fuerza actuara sobre dicho punto, igual a la suma vectorial de todas ellas \(\rightarrow\) principio de superposición.

Este principio nos permite entonces sustituir un conjunto de fuerzas que actúan sobre un objeto ejercidas todas ellas en un mismo punto, por su vector fuerza resultante \(\vec{R}\), y sus componentes respectivas en el espacio

EJEMPLO: Calcula la fuerza resultante, teniendo en cuenta los valores de los módulos y los ángulos que forman con el eje \(x\) para las tres fuerzas \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\) y \(\vec{F_3}\).

Solución

Solución:

\[|\vec{R}|=25 \text{ N}\] \[\theta_R = 76.8^{\circ}\]

Era sabido, ya desde tiempos de Galileo, que si se eliminan todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su velocidad no cambiará, propiedad de la materia que se describía como inercia. Esta conclusión fue establecida por Newton como su primera ley, también llamada ley de la inercia.

PRIMERA LEY: Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa. Un cuerpo en movimiento continúa moviéndose con velocidad constante a menos que sobre él actúe una fuerza externa.

Como conclusión, un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración nula. Es decir, esta \(1^{\rm a}\) ley no distingue entre un objeto en reposo y otro que se mueve con velocidad constante, distinta de cero. El hecho de que un objeto esté en reposo o en movimiento con velocidad constante depende del sistema de referencia en el cual se observa el objeto. Hay que tener cuidado, porque la primera ley de Newton solo puede aplicarse a sistemas de referencia denominados inerciales. De hecho, la \(1^{\rm a}\) ley de Newton nos proporciona un criterio para determinar si un sistema de referencia es inercial o no:

Si sobre un objeto no actúa ninguna fuerza, cualquier sistema de referencia con respecto al cual la aceleración del objeto sea cero, es un sistema de referencia inercial.

Normalmente se considera que la Tierra es un sistema de referencia inercial (S.R.I), despreciando la aceleración debida al movimiento de la Tierra alrededor del Sol y de su propio movimiento de rotación.

Utilizando la \(1^{\rm a}\) ley de Newton y la idea de S.R.I, podemos definir una Fuerza como una influencia externa sobre un objeto, que produce un cambio en su velocidad, es decir, una aceleración respecto a un sistema de referencia incercial. La Fuerza es una cantidad vectorial. Tiene módulo, dirección y sentido. Las fuerzas son ejercidas por unos cuerpos sobre otros. Las que se generan al estar dos cuerpos en contacto físico se llaman fuerzas de contacto, como por ejemplo golpear una pelota, tirar de un hilo, la fuerza de rozamiento entre un objeto y el suelo..., es decir, siempre debe haber un contacto directo entre el cuerpo que aplica la fuerza y el cuerpo sobre el cual se aplica. También hay fuerzas que no requieren contacto directo; éstas son las fuerzas a distancia. Las fuerzas fundamentales son cuatro:

1. Interacción gravitacional: Es la interacción entre partículas debida a su masa.

2. Interacción electromagnética: Es la interacción de largo alcance entre partículas cargadas eléctricamente.

3. Interacción débil: Es la interacción a corto alcance entre partículas subnucleares.

4. Fuerza nuclear fuerte: Interacción de largo alcance entre los hadrones (protones y neutrones), que los mantiene unidos, formando el núcleo.

Por otra parte, sabemos que los objetos se resisten intrínsecamente a ser acelerados. Por ejemplo, si pensamos en dar una patada a un balón de fútbol o a una bola de una bolera, el sentido común nos dice que la segunda se resistirá más a ser acelerada. Esta propiedad intrínseca de un cuerpo es la masa. La masa es una medida de la inercia de un cuerpo. Desde el 20 de mayo de 2019, la definición del kilogramo pasó a estar ligada con la constante de Planck, definida como \(6.62607015 \times 10^{-34} \text{ kg} \cdot \text{ m}^2 \cdot \text{ s}^{-1}\). El Grand Kilo, como se conoce al patrón parisino usado hasta la fecha para definir el kilogramo, es ahora un estándar de masa secundario, quedando el kilogramo ahora definido a partir de la constante de Planck y de otras unidades básicas del SI, como el segundo y el metro.

La aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa.

O lo que es lo mismo:

Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, ésta se acelera, siendo la dirección de aceleración la misma que la de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración.

Por ejemplo, una fuerza neta de 1 N le produce una aceleración de 1 m/s\(^2\) a un cuerpo de 1 kg de masa. Una fuerza neta de 2 N le producirá a un cuerpo de 2 kg de masa una aceleración también de 1 m/s\(^2\). Por tanto, si aplicamos la misma fuerza a dos objetos con diferente masa, el que tenga menos masa se acelerará más.

Si dejamos caer un objeto cerca de la superficie de la Tierra, el objeto acelera en dirección hacia la Tierra. Despreciando la resistencia del aire, todos los objetos poseen la misma aceleración, \(\vec{g}\). La fuerza que causa esta aceleración es la Fuerza de la gravedad, \(\vec{F}_g\), que ejerce la Tierra sobre cualquier objeto con una determinada masa \(m\). Si solo actúa esa fuerza sobre el objeto, se dice que el cuerpo está en caída libre:

siempre que estemos cerca de la superficie de la Tierra. En general, \(|\vec{g}|\) será menor para cuerpos situados más lejos de la superficie de la Tierra, y también será menor en latitudes diferentes al ecuador.

El peso no es una propiedad intrínseca de los cuerpos, lo que sí es una propiedad intrínseca es la masa. Por ejemplo, el peso de un objeto en la Luna será aproximadamente \(1/6\) de su peso en la Tierra.

El peso aparente es la fuerza que equilibra el peso (por ejemplo, en una balanza, será la fuerza normal que ésta ejerce sobre el cuerpo). Si el peso aparente es cero (no hay ninguna fuerza que equilibra el peso del cuerpo), diremos que el cuerpo está en caída libre \(\rightarrow\) ingravidez.

La fuerza normal es la fuerza que cualquier superficie ejerce sobre un objeto, y que siempre es perpendicular a la misma, como se puede ver en la siguiente figura:

La fuerza que ejerce un muelle sobre un objeto viene dada por la ley de Hooke. Suponiendo que el muelle esté situado en la dirección del eje \(x\), la fuerza que ejerce el muelle sobre el objeto se expresa de la siguiente forma:

donde \(k\) es la constante elástica del muelle, y mide la rigidez del mismo. \(\Delta x\) es el desplazamiento realizado por el muelle, respecto de su posición de equilibrio \(x_0\).

La figura siguiente muestra cómo es la fuerza elástica del muelle sobre un objeto, suponiendo que la posición de equilibrio es \(x_0=0\).

Un objeto en reposo bajo la acción de fuerzas que se equilibran se dice que está en equilibrio estático. Si un pequeño desplazamiento da lugar a una fuerza de restitución neta hacia la posición de equilibrio, se dice que el equilibrio es estable.

La magnitud de la fuerza que un trozo de cuerda ejerce sobre otro adyacente se denomina tensión.

EJEMPLO 3: Una pelota (C) que pesa \(P=6\) N se cuelga mediante dos cables (A y B) que ejercen tensiones \(T_A\) y \(T_B\), respectivamente, tal como indica la figura. Determinar ambas tensiones, suponiendo que la pelota se encuentra en equilibrio estático.

Solución

Solución:

\[{T_A}_x = T_A \, {\rm cos} (60^{\circ}) \quad \quad {T_A}_y=T_A \, {\rm sen} (60^{\circ}) \] \[{T_B}_x=T_B \, {\rm cos} (40^{\circ}) \quad \quad {T_B}_y=T_B \, {\rm sen} (40^{\circ} )\]

Teniendo en cuenta que el sistema está en equilibrio

\[{T_A}_x = {T_B}_x \quad \rightarrow \quad T_A \, {\rm cos} (60^{\circ}) = T_B \, {\rm cos} (40^{\circ}) \quad \rightarrow \quad T_B = T_A \, \frac{{\rm cos} \, ( 60^{\circ})} {{\rm cos} \, ( 40^{\circ})}\] \[ {T_A}_y + {T_B}_y = P \quad \rightarrow \quad T_A \, {\rm sen} (60^{\circ}) + T_A {\rm cos} \, ( 60^{\circ}) \, {\rm tg} \, ( 40^{\circ}) = P\]

Por tanto:

\[T_A = \frac{P}{{\rm sen} (60^{\circ}) + {\rm cos} \, ( 60^{\circ}) \, {\rm tg} \, ( 40^{\circ})} = 4.667 \, \, {\rm N}\] \[T_B= T_A \, \frac{{\rm cos} \, ( 60^{\circ})} {{\rm cos} \, ( 40^{\circ})} = 3.046 \, \, {\rm N}\]

Esto nos servirá para explicar con más detalle los diagramas de cuerpo libre para la resolución de problemas:

• Planteamiento: Identificar todas las fuerzas que actúan sobre la partícula, así como la direcciín del vector \(\vec{a}\). Esto será útil para elegir el sistema de referencia más adecuado.

• Solución:

  1. Dibujar un diagrama claro.

  2. Aislar al cuerpo de interés e identificar y representar cada una de las fuerzas que actúan sobre él.

  3. Elegir un sistema de coordenadas adecuado. Si se conoce la dirección de \(\vec{a}\), escoger uno de los ejes paralelo a ella. Para cuerpos que se deslizan sobre superficies, elegir los ejes de forma que uno sea paralelo y el otro perpendicular a la superficie.

  4. Aplicar la segunda ley de Newton en forma de componentes.

• Comprobación: Ver si los resultados tienen las unidades correctas y parecen razonables los valores obtenidos.

EJEMPLO 1: Una joven tira de un trineo con una fuerza de 100 N, formando un ángulo de \(30^{\circ}\) con la horizontal. La masa del conjunto trineo-cuerda-pasajero es de \(75\) kg y suponemos que podemos despreciar el rozamiento. Determinar la aceleración \(\vec{a}\) que adquiere el sistema y la fuerza normal \(\vec{N}=F_N \, \vec{\jmath}\) ejercida por la superficie sobre el trineo.

Solución

Solución:

\[F_x= m a_x \quad \rightarrow \quad a_x = \frac{F \, {\rm cos} \, (30^{\circ})}{m} = 1.15 \, \, {\rm m/s^2}\] \[F_N + F \, {\rm sen} \, (30^{\circ}) = m \, g \quad \rightarrow \quad F_N = 685 \, {\rm N}\]

EJEMPLO 2: Dejamos caer un paquete desde la parte superior de un plano inclinado. Sabemos que si la velocidad vertical con la que el paquete llega al final de la rampa es superior a 1.5 m/s, la carga del paquete se daña. Calcular el máximo ángulo que puede tener el plano inclinado para que podamos tener una recepción segura de la carga, teniendo en cuenta que la altura del plano inclinado es \(h=1.5\) m.

Solución

Solución:

Supondremos que el eje \(x\) es el paralelo al plano y el eje \(y\) el perpendicular. La velocidad vertical será la que tiene el objeto en la dirección vertical, cuando llega al suelo.

\[P_x = m a_x \quad \quad F_N - P_y = 0 \quad \quad a_x = \frac{ m \, g \, {\rm sen} \, \theta }{m} \quad \quad {\rm sen} \, \theta = \frac{h}{e}\] \[ v_x^2(t) = v_x^2(t=0) \, + \, 2 \, a_x \, e \quad \quad v_x^2(t) = 2 \, g \, {\rm sen} \, \theta \frac{h}{{\rm sen} \, \theta} \quad \quad {\rm sen}^2 \, \theta = \frac{v_v^2}{v_x^2(t)}= \frac{v_v^2}{2 \, g \, h}\]

Por tanto:

\[{\rm sen} \, \theta = \sqrt{ \frac{v_v^2}{2\, g \, h}} = 0.2766 \quad \rightarrow \quad \theta = 16.06^{\circ}\]

Si se aplica una fuerza sobre un cuerpo \(A\), debe haber un cuerpo \(B\) que ejerza la fuerza. La 3\(^{\rm a}\) ley de Newton establece entonces que dichos cuerpos ejercen fuerzas entre sí que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios.

\(A\) ejerce una fuerza sobre \(B\) \(\longrightarrow\) \(B\) ejerce una fuerza sobre \(A\), de igual módulo, dirección y sentido opuesto.

En general, podemos enunciar la tercera ley de Newton de la siguiente manera:

Las fuerzas siempre actúan por pares, iguales y opuestas. Si el cuerpo \(A\) ejerce una fuerza \(\vec{F}_{AB}\) sobre el cuerpo \(B\), éste ejerce una fuerza igual, pero opuesta, \(\vec{F}_{BA}\) sobre el cuerpo \(A\), de tal manera que: \[\vec{F}_{BA} = - \vec{F}_{AB}\]

Es común referirse a estas fuerzas como par acción-reacción. Ambas fuerzas actúan siempre simultáneamente y sobre objetos diferentes. En la figura siguiente se muestra esta propiedad, en el caso de dos masas \(A\) y \(B\).

Como regla general, para aplicar las leyes de Newton a dos o más cuerpos, deberemos:

1. Dibujar un diagrama de fuerzas para cada cuerpo. Las incógnitas se obtendrán al resolver simultáneamente las ecuaciones.

2. Usar un sistema de coordenadas distinto para cada cuerpo y tener en cuenta en el principio de acción-reacción.

3. Aplicar la 2\(^{\rm a}\) ley de Newton a cada objeto.

4. Resolver las ecuaciones obtenidas.

EJEMPLO: Dos alpinistas unidos por una cuerda, quedan en la posición que se describe en la figura. Determinar la aceleración que adquiriría el conjunto formado por ambos.

Solución

Solución:

Teniendo en cuenta que Juan tiene masa \(m_1\) y Pedro, \(m_2\), tendremos que:

\[\sum_i (\vec{F_1})_i = m_1 \, \vec{a}_1 \quad \quad \sum_i (\vec{F_2})_i = m_2 \, \vec{a}_2\]

Si suponemos que la masa de la cuerda es despreciable, las tensiones serán iguales \(\rightarrow T_1=T_2=T\). Por tanto, para cada objeto, en la dirección del movimiento, tendremos las siguientes ecuaciones

\[T \, + \, P_{1x} = m_1 \, a \quad \rightarrow \quad T + m_1 \, g \, {\rm sen} \, \theta = m_1 \, a \, ; \quad \quad P_2 \, - \, T = m_2 \, a\]

Sumando ambas ecuaciones:

\[P_2 \, + \, m_1 \, g \, {\rm sen} \, \theta = (m_1 + m_2 ) \, a \quad \rightarrow \quad a = g \, \frac{\left ( m_2 + m_1 \, {\rm sen} \, \theta \, \right )}{m_1 + m_2}\]