EJERCICIOS DE ONDAS

SOLUCIÓN:

La ecuación de ondas me describe la posición de una partícula situada a una distancia $x$ de la fuente en un instante cualquiera $t$. En este caso se trata de un movimiento oscilatorio en la dirección $y$.

1. Es el valor máximo que puede adquirir la función. Dado que la función seno vale como máximo 1, entonces $A=0.05 \text{ m}$, es decir, lo que acompaña a la función seno.
   


2. Si nos fijamos en la forma general de la ecuación de ondas: $y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right),$ entonces la frecuencia angular es el prefactor del tiempo, es decir, $\omega=\frac{2\pi}{0.001}$. Como $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$, comparando tenemos $\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0.001}$ Y por tanto, $T=0.001 \text{ s}$. Del mismo modo, $k$ es el prefactor de $x$, por lo que: $$k=\frac{2\pi}{4}$$ Y como $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, entonces $\lambda=4\mbox{ m}$.



3. $$\omega=\frac{2\pi}{T}=2000\pi\mbox{ rad/s}$$ $$k=\frac{2\pi}{\lambda}=0.5\pi\mbox{ m}^{-1}$$

4. La fase es $\varphi=\left(\omega t-kx\right)$, por lo que: $$\varphi=\left(2000\pi\mbox{ rad/s}\cdot 0.5\cdot 10^{-3}\mbox{ s}-0.5\pi\mbox{ m}^{-1}\cdot 2\mbox{ m}\right)=0$$

SOLUCIÓN:

1. De nuevo, $A$ es el factor que acompaña a la función armónica: $$A=0.3\mbox{ m}.$$ Para calcular el periodo nos fijamos en el prefactor del tiempo. Este prefactor es la frecuencia angular, es decir: $\omega=0.2 \text{ rad/s}$. Como $T=2\pi/\omega$: $$T=\frac{2\pi}{0.2\mbox{ rad/s}}=10\pi\mbox{ s}=31.4\mbox{ s}.$$ Para calcular la longitud de onda nos fijamos en el prefactor de la posición $x$. Este prefactor es el número de onda $k=2\pi/\lambda$ luego $$\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{4\mbox{ m}^{-1}}=0.5\mbox{ m}=1.57\mbox{ m}$$ Finalmente, la velocidad de la onda: $$v=\frac{\lambda}{T}=\frac{0.5\pi\mbox{ m}}{10\pi\mbox{ s}}=0.05\mbox{ m/s}.$$


2. La fase es el argumento de la función trigonométrica, luego: $$\varphi=0.2t-4x=0.2\cdot 11-4\cdot 0.2= 1.4\mbox{ rad}$$


3. La ecuación de ondas me da justamente la posición de dicha partícula. Sustituyendo $x=0.2 \text{ m}$ y $t=11 \text{ s}$, $$y(x=0.2,t=11)=0.3\sin\left(0.2\cdot 11-4\cdot 0.2\right)\mbox{ m}=0.296\mbox{ m}$$
4. El medio por el que circula la onda ejecuta movimientos oscilatorios en la dirección vertical. Dado que tenemos la posición en cualquier $y$ instante, podemos calcular la velocidad de vibración mediante. Lo hacemos primero en general: $$y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)$$ $$v_{vib}(x,t)=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=\omega A\cos\left(\omega t-kx\right)$$ Y ahora particularizamos para la onda de este problema: $$v_{vib}(x,t)=0.06\cos\left(0.2t-4x\right)\mbox{ m/s}$$ Vemos que no es constante, sino que depende del instante y del punto del espacio que esté mirando. Sustituyendo para el caso particular que nos piden: $$v_{vib}(x=0.2,t=11)=0.06\cos\left(0.2\cdot 11-4\cdot 0.2\right)\mbox{ m/s}=0.0102\mbox{ m/s}$$

SOLUCIÓN:

1. En general, la ecuación de la onda es: $$y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)$$ En este caso, $$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\cdot 10^{-3}\mbox{ s}}=1000\pi\mbox{ rad/s}$$ $$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{3\mbox{ m}}=0.67\pi\mbox{ m}^{-1}$$ $$A=0.2\mbox{ m}$$ Por lo tanto, en cualquier punto de la cuerda se tendrá: $$y(x,t)=0.2\sin\left(1000\pi t-0.67\pi x\right)\mbox{ m}$$ Y en particular, si $x=1.5 \mbox{ m}$: $$y(t)=0.2\sin\left(1000\pi t-\pi\right)\mbox{ m}$$ Es decir, una oscilación con una fase inicial $-\pi$.
   


2. Sustituyendo $t=2 \mbox{ s}$: $$y(t=2\mbox{ s})=0.2\sin\left(1000\pi 2-\pi\right)\mbox{ m}=0$$ En efecto, dado que el periodo es $2\cdot 10^{-3} \mbox{ s}$, cuando pasen 2 s habrá ejecutado $2/0.002=1000$ oscilaciones completas, y por lo tanto se encontrará en la misma posición que en el instante inicial, es decir, $$y(t=2\mbox{ s})=0.2\sin\left(-\pi\right)\mbox{ m}=0$$

SOLUCIÓN:

1. La fase de la onda $\varphi$ en un punto situado a una distancia $x$ de la fuente y en un instante $t$ es $\varphi(x,t)=\omega t-kx$. Esta fase así definida tiene por unidad el radián. En este caso: $$\omega=2\pi f=2\pi\cdot500\mbox{ Hz}=1000\pi\mbox{ rad/s}$$ $$\lambda=vT=\frac{v}{f}=\frac{350\mbox{ m/s}}{500\mbox{ Hz}}=0.7\mbox{ m}$$ $$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0.7\mbox{ m}}=2.85\pi\mbox{ m}^{-1}$$ Por lo tanto, la fase de la onda será: $$\varphi(x,t)=1000\pi t-2.85\pi x$$ Es usual utilizar la letra griega $\Delta$ para indicar diferencias. Así, $\Delta\varphi$ es la diferencia de fase. En un instante concreto, la diferencia de fase entre dos puntos será: $$\Delta\varphi=\varphi(x_1,t)-\varphi(x_2,t)=(\omega t-kx_1)-(\omega t-kx_2)=k(x_2-x_1)$$ Dado que nos dan la diferencia de fase, de la ecuación anterior tenemos que despejar la distancia entre los puntos $x_1$ y $x_2$: $$x_2-x_1=\frac{\Delta\varphi}{k}$$ Antes de operar, hay que pasar la diferencia de fase a radianes: $$\Delta\varphi=60^\circ\frac{\pi\mbox{ rad}}{180^\circ}=0.33\pi \mbox{ rad}$$ Y finalmente: $$x_2-x_1=\frac{0.33\pi}{2.85\pi\mbox{ m}^{-1}}=0.117\mbox{ m}$$



2. En este caso, la posición es la misma y se busca la diferencia de fase entre dos instantes diferentes: $$\Delta\varphi=\varphi(x,t_1)-\varphi(x,t_2)=(\omega t_1-kx)-(\omega t_2-kx)=\omega(t_1-t_2)$$ Si $t_1-t_2=10^{-3} \text{ s}$, entonces, $$\Delta\varphi=1000\pi\mbox{ rad/s}\cdot 10^{-3}\mbox{ s}=3.14\mbox{ rad}$$

SOLUCIÓN:

1. El número de ondas es: $$k=\frac{2\pi}{\lambda}$$ siendo $\lambda=0.08 \text{ m}$ la longitud de onda que me dan en el enunciado. Sustituyendo: $$k=\frac{2\pi}{0.08\mbox{ m}}=78.5\mbox{ m}^{-1}$$ Para calcular la frecuencia angular, $\omega=\frac{2\pi}{T}$, necesitamos conocer el periodo. Cuando no tengo esta información he de fijarme en la longitud de onda o número de ondas y en la velocidad de la onda, pues: $$\lambda=vT$$ Luego: $$T=\frac{\lambda}{v}=\frac{0.08\mbox{ m}}{0.4\mbox{ m/s}}=0.2\mbox{ s}$$ Y finalmente la frecuencia: $$\omega=\frac{2\pi}{0.2\mbox{ s}}=10\pi\mbox{ rad/s}=31.4\mbox{ rad/s}$$


2. Dado que se trata de una onda transversal, esto quiere decir que si se propaga e la dirección $x$, las partículas del medio por el que se propaga oscilan en la dirección vertical $y$. La forma general es: $$y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)$$ Sustituyendo la amplitud, la frecuencia angular y el número de onda: $$y(x,t)=0.05\sin\left(31.4t-78.5x\right) \text{ m}$$

SOLUCIÓN:

1. La forma general para una onda transversal que se desplaza en la dirección $x$ es: $$y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)$$ Para dar la solución, tenemos que proporcionar una ecuación en la que las únicas incógnitas sean la posición $x$ y el tiempo $t$. Los datos del problema son:
   $A=0.05 \text{ m}$
   $f=50 \text{ Hz}$ Hz
   $v=20 \text{ m/s}$.
   La frecuencia angular: $$\omega=2\pi f=2\pi \cdot 50\mbox{ Hz}=100\pi\mbox{ rad/s}$$ Para calcular $k=\frac{2\pi}{\lambda}$: Cuando no nos dan $\lambda$, nos tenemos que fijar en la frecuencia o el periodo y la velocidad de la onda, ya que como $\lambda=vT=\frac{v}{f}$: $$\lambda=\frac{20\mbox{ m/s}}{50\mbox{ Hz}}=0.4\mbox{ m}$$ Y por lo tanto: $$k=\frac{2\pi}{0.4\mbox {m}}=5\pi\mbox{ m}^{-1}$$ Por lo tanto: $$y(x,t)=0.05\sin\left(100\pi t-5\pi x\right) \mbox{ m}$$



2. La partícula que ocupa esta posición ejecuta una oscilación vertical dada por la ecuación: $$y(x=1,t)=0.05\sin\left(100\pi t-5\pi\right)\mbox{ m}$$ Además, sabemos que $\sin\left(x\right)=\sin\left(x\pm 2\pi\right)=\sin\left(x\pm 4\pi\right)$, etc. Luego: $$y(x=1,t)=0.05\sin\left(100\pi t-\pi\right)\mbox{ m}$$ El valor máximo es 0.05 m, y se alcanza cuando la función $seno$ vale 1. Esto ocurre cuando el argumento de esta función vale $\pi/2$, $\pi/2+2\pi$, $\pi/2+4\pi$, etc. Es decir, cuando el argumento vale $\pi/2+2\pi n$. En este caso, el argumento de la función $seno$ es $\varphi=100\pi t-\pi$, por lo que, el valor máximo se alcanza si: $$\varphi=100\pi t-\pi=2\pi n+\frac{\pi}{2}$$ Despejado el tiempo de esta ecuación: $$t=\frac{2\pi n+3\pi/2}{100\pi}=0.02n+0.015\mbox{ s, con }n=1,2,3,\mbox{ etc}$$ Por ejemplo, para $n=1,2,3$ tendremos: $$t_1=0.035\mbox { s}$$ $$t_2=0.055\mbox { s}$$ $$t_3=0.075\mbox { s}$$

SOLUCIÓN:

1. El prefactor del tiempo es la frecuencia angular: $\omega=2\pi \cdot 50\mbox{ rad/s}$. Como $\omega=2\pi f$, entonces $$f=50\mbox{ Hz}$$ El prefactor de la posición es el número de ondas: $k=2\pi\cdot0.2\mbox{ m}^{-1}$. Como $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, entonces $$\frac{1}{\lambda}=0.2\text{ m}^{-1}\Rightarrow \lambda=\frac{1}{0.2 \text{ m}^{-1}}=5\mbox{ m}$$ Finalmente, la velocidad de la onda es $v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f$, luego $$v=5\mbox{ m}\cdot 50\mbox{ Hz}=250\mbox{ m/s}$$


2. Las partículas del medio están oscilando con una velocidad que no es la velocidad de la onda, sino la velocidad de vibración. Esta se calcula derivando la posición. En general: $$y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)$$ $$v_{vib}(x,t)=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=\omega A\cos\left(\omega t-kx\right)$$ Y ahora particularizamos para la onda de este problema: $$v_{vib}(x,t)=3100\cos\left[2\pi\left(50t – 0.2x\right)\right]\mbox{ m/s}$$ Dado que la función $coseno$ vale como máximo 1, la velocidad de vibración vale como máximo $$v_{vib,max}=3100\mbox{ m/s}$$ Y esto ocurrirá cuando el coseno valga 1, es decir, cuando su argumento sea múltiplo de $2\pi$. Particularizando para la posición del ejercicio $x=0.5 \text{ m}$: $$\varphi=2\pi\left(50t – 0.1\right)=2\pi n$$ Despejando el tiempo de esta ecuación: $$t=\frac{n+0.1}{50}=0.02n+0.002\mbox{ s}$$ con $n=0,1,2,$ etc.