EJERCICIOS DE ONDAS

SOLUCIÓN:

La ecuación de ondas me describe la posición de una partícula situada a una distancia \(x\) de la fuente en un instante cualquiera \(t\). En este caso se trata de un movimiento oscilatorio en la dirección \(y\).

1. Es el valor máximo que puede adquirir la función. Dado que la función seno vale como máximo 1, entonces \(A=0.05 \text{ m}\), es decir, lo que acompaña a la función seno.
   


2. Si nos fijamos en la forma general de la ecuación de ondas: \(y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right),\) entonces la frecuencia angular es el prefactor del tiempo, es decir, \(\omega=\frac{2\pi}{0.001}\). Como \(\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\), comparando tenemos \(\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0.001}\) Y por tanto, \(T=0.001 \text{ s}\). Del mismo modo, \(k\) es el prefactor de \(x\), por lo que: \[k=\frac{2\pi}{4}\] Y como \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\), entonces \(\lambda=4\mbox{ m}\).



3. \[\omega=\frac{2\pi}{T}=2000\pi\mbox{ rad/s}\] \[k=\frac{2\pi}{\lambda}=0.5\pi\mbox{ m}^{-1}\]

4. La fase es \(\varphi=\left(\omega t-kx\right)\), por lo que: \[\varphi=\left(2000\pi\mbox{ rad/s}\cdot 0.5\cdot 10^{-3}\mbox{ s}-0.5\pi\mbox{ m}^{-1}\cdot 2\mbox{ m}\right)=0\]

SOLUCIÓN:

1. De nuevo, \(A\) es el factor que acompaña a la función armónica: \[A=0.3\mbox{ m}.\] Para calcular el periodo nos fijamos en el prefactor del tiempo. Este prefactor es la frecuencia angular, es decir: \(\omega=0.2 \text{ rad/s}\). Como \(T=2\pi/\omega\): \[T=\frac{2\pi}{0.2\mbox{ rad/s}}=10\pi\mbox{ s}=31.4\mbox{ s}.\] Para calcular la longitud de onda nos fijamos en el prefactor de la posición \(x\). Este prefactor es el número de onda \(k=2\pi/\lambda\) luego \[\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{4\mbox{ m}^{-1}}=0.5\mbox{ m}=1.57\mbox{ m}\] Finalmente, la velocidad de la onda: \[v=\frac{\lambda}{T}=\frac{0.5\pi\mbox{ m}}{10\pi\mbox{ s}}=0.05\mbox{ m/s}.\]


2. La fase es el argumento de la función trigonométrica, luego: \[\varphi=0.2t-4x=0.2\cdot 11-4\cdot 0.2= 1.4\mbox{ rad}\]


3. La ecuación de ondas me da justamente la posición de dicha partícula. Sustituyendo \(x=0.2 \text{ m}\) y \(t=11 \text{ s}\), \[y(x=0.2,t=11)=0.3\sin\left(0.2\cdot 11-4\cdot 0.2\right)\mbox{ m}=0.296\mbox{ m}\]
4. El medio por el que circula la onda ejecuta movimientos oscilatorios en la dirección vertical. Dado que tenemos la posición en cualquier \(y\) instante, podemos calcular la velocidad de vibración mediante. Lo hacemos primero en general: \[y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)\] \[v_{vib}(x,t)=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=\omega A\cos\left(\omega t-kx\right)\] Y ahora particularizamos para la onda de este problema: \[v_{vib}(x,t)=0.06\cos\left(0.2t-4x\right)\mbox{ m/s}\] Vemos que no es constante, sino que depende del instante y del punto del espacio que esté mirando. Sustituyendo para el caso particular que nos piden: \[v_{vib}(x=0.2,t=11)=0.06\cos\left(0.2\cdot 11-4\cdot 0.2\right)\mbox{ m/s}=0.0102\mbox{ m/s}\]

SOLUCIÓN:

1. En general, la ecuación de la onda es: \[y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)\] En este caso, \[\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\cdot 10^{-3}\mbox{ s}}=1000\pi\mbox{ rad/s}\] \[k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{3\mbox{ m}}=0.67\pi\mbox{ m}^{-1}\] \[A=0.2\mbox{ m}\] Por lo tanto, en cualquier punto de la cuerda se tendrá: \[y(x,t)=0.2\sin\left(1000\pi t-0.67\pi x\right)\mbox{ m}\] Y en particular, si \(x=1.5 \mbox{ m}\): \[y(t)=0.2\sin\left(1000\pi t-\pi\right)\mbox{ m}\] Es decir, una oscilación con una fase inicial \(-\pi\).
   


2. Sustituyendo \(t=2 \mbox{ s}\): \[y(t=2\mbox{ s})=0.2\sin\left(1000\pi 2-\pi\right)\mbox{ m}=0\] En efecto, dado que el periodo es \(2\cdot 10^{-3} \mbox{ s}\), cuando pasen 2 s habrá ejecutado \(2/0.002=1000\) oscilaciones completas, y por lo tanto se encontrará en la misma posición que en el instante inicial, es decir, \[y(t=2\mbox{ s})=0.2\sin\left(-\pi\right)\mbox{ m}=0\]

SOLUCIÓN:

1. La fase de la onda \(\varphi\) en un punto situado a una distancia \(x\) de la fuente y en un instante \(t\) es \(\varphi(x,t)=\omega t-kx\). Esta fase así definida tiene por unidad el radián. En este caso: \[\omega=2\pi f=2\pi\cdot500\mbox{ Hz}=1000\pi\mbox{ rad/s}\] \[\lambda=vT=\frac{v}{f}=\frac{350\mbox{ m/s}}{500\mbox{ Hz}}=0.7\mbox{ m}\] \[k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0.7\mbox{ m}}=2.85\pi\mbox{ m}^{-1}\] Por lo tanto, la fase de la onda será: \[\varphi(x,t)=1000\pi t-2.85\pi x\] Es usual utilizar la letra griega \(\Delta\) para indicar diferencias. Así, \(\Delta\varphi\) es la diferencia de fase. En un instante concreto, la diferencia de fase entre dos puntos será: \[\Delta\varphi=\varphi(x_1,t)-\varphi(x_2,t)=(\omega t-kx_1)-(\omega t-kx_2)=k(x_2-x_1)\] Dado que nos dan la diferencia de fase, de la ecuación anterior tenemos que despejar la distancia entre los puntos \(x_1\) y \(x_2\): \[x_2-x_1=\frac{\Delta\varphi}{k}\] Antes de operar, hay que pasar la diferencia de fase a radianes: \[\Delta\varphi=60^\circ\frac{\pi\mbox{ rad}}{180^\circ}=0.33\pi \mbox{ rad}\] Y finalmente: \[x_2-x_1=\frac{0.33\pi}{2.85\pi\mbox{ m}^{-1}}=0.117\mbox{ m}\]



2. En este caso, la posición es la misma y se busca la diferencia de fase entre dos instantes diferentes: \[\Delta\varphi=\varphi(x,t_1)-\varphi(x,t_2)=(\omega t_1-kx)-(\omega t_2-kx)=\omega(t_1-t_2)\] Si \(t_1-t_2=10^{-3} \text{ s}\), entonces, \[\Delta\varphi=1000\pi\mbox{ rad/s}\cdot 10^{-3}\mbox{ s}=3.14\mbox{ rad}\]

SOLUCIÓN:

1. El número de ondas es: \[k=\frac{2\pi}{\lambda}\] siendo \(\lambda=0.08 \text{ m}\) la longitud de onda que me dan en el enunciado. Sustituyendo: \[k=\frac{2\pi}{0.08\mbox{ m}}=78.5\mbox{ m}^{-1}\] Para calcular la frecuencia angular, \(\omega=\frac{2\pi}{T}\), necesitamos conocer el periodo. Cuando no tengo esta información he de fijarme en la longitud de onda o número de ondas y en la velocidad de la onda, pues: \[\lambda=vT\] Luego: \[T=\frac{\lambda}{v}=\frac{0.08\mbox{ m}}{0.4\mbox{ m/s}}=0.2\mbox{ s}\] Y finalmente la frecuencia: \[\omega=\frac{2\pi}{0.2\mbox{ s}}=10\pi\mbox{ rad/s}=31.4\mbox{ rad/s}\]


2. Dado que se trata de una onda transversal, esto quiere decir que si se propaga e la dirección \(x\), las partículas del medio por el que se propaga oscilan en la dirección vertical \(y\). La forma general es: \[y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)\] Sustituyendo la amplitud, la frecuencia angular y el número de onda: \[y(x,t)=0.05\sin\left(31.4t-78.5x\right) \text{ m}\]

SOLUCIÓN:

1. La forma general para una onda transversal que se desplaza en la dirección \(x\) es: \[y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)\] Para dar la solución, tenemos que proporcionar una ecuación en la que las únicas incógnitas sean la posición \(x\) y el tiempo \(t\). Los datos del problema son:
   \(A=0.05 \text{ m}\)
   \(f=50 \text{ Hz}\) Hz
   \(v=20 \text{ m/s}\).
   La frecuencia angular: \[\omega=2\pi f=2\pi \cdot 50\mbox{ Hz}=100\pi\mbox{ rad/s}\] Para calcular \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\): Cuando no nos dan \(\lambda\), nos tenemos que fijar en la frecuencia o el periodo y la velocidad de la onda, ya que como \(\lambda=vT=\frac{v}{f}\): \[\lambda=\frac{20\mbox{ m/s}}{50\mbox{ Hz}}=0.4\mbox{ m}\] Y por lo tanto: \[k=\frac{2\pi}{0.4\mbox {m}}=5\pi\mbox{ m}^{-1}\] Por lo tanto: \[y(x,t)=0.05\sin\left(100\pi t-5\pi x\right) \mbox{ m}\]



2. La partícula que ocupa esta posición ejecuta una oscilación vertical dada por la ecuación: \[y(x=1,t)=0.05\sin\left(100\pi t-5\pi\right)\mbox{ m}\] Además, sabemos que \(\sin\left(x\right)=\sin\left(x\pm 2\pi\right)=\sin\left(x\pm 4\pi\right)\), etc. Luego: \[y(x=1,t)=0.05\sin\left(100\pi t-\pi\right)\mbox{ m}\] El valor máximo es 0.05 m, y se alcanza cuando la función \(seno\) vale 1. Esto ocurre cuando el argumento de esta función vale \(\pi/2\), \(\pi/2+2\pi\), \(\pi/2+4\pi\), etc. Es decir, cuando el argumento vale \(\pi/2+2\pi n\). En este caso, el argumento de la función \(seno\) es \(\varphi=100\pi t-\pi\), por lo que, el valor máximo se alcanza si: \[\varphi=100\pi t-\pi=2\pi n+\frac{\pi}{2}\] Despejado el tiempo de esta ecuación: \[t=\frac{2\pi n+3\pi/2}{100\pi}=0.02n+0.015\mbox{ s, con }n=1,2,3,\mbox{ etc}\] Por ejemplo, para \(n=1,2,3\) tendremos: \[t_1=0.035\mbox { s}\] \[t_2=0.055\mbox { s}\] \[t_3=0.075\mbox { s}\]

SOLUCIÓN:

1. El prefactor del tiempo es la frecuencia angular: \(\omega=2\pi \cdot 50\mbox{ rad/s}\). Como \(\omega=2\pi f\), entonces \[f=50\mbox{ Hz}\] El prefactor de la posición es el número de ondas: \(k=2\pi\cdot0.2\mbox{ m}^{-1}\). Como \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\), entonces \[\frac{1}{\lambda}=0.2\text{ m}^{-1}\Rightarrow \lambda=\frac{1}{0.2 \text{ m}^{-1}}=5\mbox{ m}\] Finalmente, la velocidad de la onda es \(v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f\), luego \[v=5\mbox{ m}\cdot 50\mbox{ Hz}=250\mbox{ m/s}\]


2. Las partículas del medio están oscilando con una velocidad que no es la velocidad de la onda, sino la velocidad de vibración. Esta se calcula derivando la posición. En general: \[y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)\] \[v_{vib}(x,t)=\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}=\omega A\cos\left(\omega t-kx\right)\] Y ahora particularizamos para la onda de este problema: \[v_{vib}(x,t)=3100\cos\left[2\pi\left(50t – 0.2x\right)\right]\mbox{ m/s}\] Dado que la función \(coseno\) vale como máximo 1, la velocidad de vibración vale como máximo \[v_{vib,max}=3100\mbox{ m/s}\] Y esto ocurrirá cuando el coseno valga 1, es decir, cuando su argumento sea múltiplo de \(2\pi\). Particularizando para la posición del ejercicio \(x=0.5 \text{ m}\): \[\varphi=2\pi\left(50t – 0.1\right)=2\pi n\] Despejando el tiempo de esta ecuación: \[t=\frac{n+0.1}{50}=0.02n+0.002\mbox{ s}\] con \(n=0,1,2,\) etc.